黎卡提方程

黎卡提方程是形式如$y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}$ 的常微分方程。该方程以义大利数学家雅各布·黎卡提命名。

解法

先同乘$q_{2}(x)$，使得$q_{2}y'=q_{0}q_{2}+q_{1}q_{2}y+q_{2}^{2}y^{2}$

再以$v=yq_{2}$代入：

$v'=v^{2}+P(x)v+Q(x)$；其中令 $Q(x)=q_{0}q_{2};P(x)=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}$ 。

再以$v=-{\frac {u'}{u}}$代入上式。

1. $v'=-\left({\frac {u'}{u}}\right)'=-{\frac {u''}{u}}+\left({\frac {u'}{u}}\right)^{2}=-{\frac {u''}{u}}+v^{2}\!$

则

${\frac {u''}{u}}=v^{2}-v'=-Q-Pv=-Q+P{\frac {u'}{u}}$

因此

$u''-Pu'+Qu=u''-(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}})u'+q_{0}q_{2}u=0$

最终 $y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}$.

施瓦茨方程上的应用

$S(w)\equiv \left({\frac {w''}{w'}}\right)'-{\frac {\left({\frac {w''}{w'}}\right)^{2}}{2}}=f$

显然可设$y={\frac {w''}{w'}}$：

$y'-{\frac {y^{2}}{2}}=f$

再代入 $-{\frac {2u'}{u}}=y$ ，得线性微分方程：

$u''-{\frac {1}{2}}fu=0$

因为 ${\frac {w''}{w'}}=-{\frac {2u'}{u}}$ ，积分得$w'={\frac {C}{u^{2}}}$。另一方面，若线性微分方程有其他线性独立解U，则有：

$w'={\frac {U'u-Uu'}{u^{2}}}$

$w={\frac {U}{u}}$

已知某一特定解

已知 $y=y_{1}$ 是一特定解，可设通解$y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$，代入整理得一阶线性常微分方程：

$z'+(q_{1}+2q_{2}y_{1})z=-q_{2}$

参见

• LQR控制器
• 伯努利微分方程
• 柯西-欧拉方程
• 克莱罗方程
• 全微分方程
• 线性微分方程