因數[1](英語:factor)也稱 約數[2]因子[3]除子[4]除數(divisor),是一個常見的數學名詞,用於描述自然數 和自然數 之間存在的整除關係,即 可以被 整除。這裡我們稱 倍數 的因數或因子。

定義

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  滿足  . 若存在   使得  , 那麼就說   倍數   的約數。這種關係記作  ,讀作「  整除  」.

例如  . 所以  ,同時    的因數;   的因數。

除了自己本身外的因數,稱為 真因數真因子[5][6](proper divisor)[7][8]

性質

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  •   那麼  .
  •   , 有  .
  •  , 設  , 那麼  .
  •  , 那麼  充要條件 
  •   滿足   那麼  .

這裡對最後一條性質進行證明:

 

 

證畢。

相關定理

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任何一個正整數都有且僅有一種方式寫出它所有素數因子的乘積表達式。這個過程稱為質因數分解

如果  , 那麼

 , 其中   是一個素數.

這種表示方法是唯一的。

因數個數

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自然數   的因數個數以   表示。

  唯一分解為  , 則  .

例如  ,則其正因數個數  

因數和

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自然數N的正因數和,以因數函數   表示。由質因數分解而得。

  唯一分解為  , 則  .

再由等比級數求和公式可知,上式亦可寫成:

 

例如 ,則其正因數之和

 

其他

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  • 1是所有整數的正因數,-1是所有整數的負因數,因為 

由上式同樣可證明,一個整數及其相反數必然為自身的因數,叫做 明顯因數

  • 質數 只有2個正因數:1,   平方數只有三個正因數:1,  ,  

參考

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  1. ^ https://terms.naer.edu.tw/detail/885376fd9209b23a19cac9205e8e9024/?seq=1
  2. ^ 存档副本. [2023-04-10]. (原始內容存檔於2023-04-10). 
  3. ^ 存档副本. [2023-04-10]. (原始內容存檔於2023-04-10). 
  4. ^ 存档副本. [2023-04-10]. (原始內容存檔於2023-04-10). 
  5. ^ 存档副本. [2023-04-10]. (原始內容存檔於2023-04-10). 
  6. ^ 存档副本. [2023-04-10]. (原始內容存檔於2023-04-10). 
  7. ^ 完全數(1):因數、因數函數、完全數 (PDF). mathsgreat.com. [2022-09-21]. (原始內容存檔 (PDF)於2023-03-09). 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (編). Proper Divisor. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 

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