普朗克單位制

普朗克單位制是一種計量單位制度，由德國物理學家馬克斯·普朗克最先提出，因此命名為普朗克單位制。這種單位制是自然單位制的一個實例，將某些基礎物理常數的值定為1，這些基礎物理常數是：

• 真空光速$c$
• 萬有引力常數$G$
  • 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制將$4\pi G$定為1，普朗克高斯單位制將$G$定為1
• 狄拉克常數$\hbar$
• 真空電容率$\epsilon _{0}$
  • 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制將$\epsilon _{0}$定為1，普朗克高斯單位制將$4\pi \epsilon _{0}$定為1
• 波茲曼常數$k_{B}$

馬克斯·普朗克

上述每一個常數都至少出現於一個基本物理理論：$c\,\!$在狹義相對論、$G\,\!$在廣義相對論與牛頓的萬有引力定律、$\hbar \,\!$在量子力學、$\epsilon _{0}\,\!$在靜電學、$k_{B}\,\!$在統計力學與熱力學。實際上，以上的五個常數在許多物理定律的代數表達式中多次出現，因此引入普朗克單位制可以將這些代數表達式簡化，普朗克單位制也因此成為了理論物理學一個非常有用的工具。在統一理論方面的研究，特別如量子重力學中，普朗克單位制能夠給研究者一點大概的提示。

普朗克單位制是一種獨特的自然單位制，因為普朗克單位制不是以任何原器、人體的性質（例如：發光強度（燭光）、光通量（流明）、等效劑量（西弗））、地球或宇宙的性質（例如：標準重力、標準大氣壓、哈伯常數）、特定物質的性質（例如：水的熔點、水的密度、水的比熱）、或甚至基本粒子的性質（例如：基本電荷、電子質量、質子質量）來定義的。普朗克單位制只以自由空間的性質（例如：真空光速、自由空間阻抗、波茲曼常數）來定義及作為歸一化對象。

有些學者認為普朗克單位制比其它自然單位制更為自然。例如，有些其它自然單位制使用電子質量為基本單位。但是電子只是許多種已知具有質量的基本粒子之一。這些粒子的質量都不一樣。在基礎物理學裏，並沒有任何絕對因素，促使選擇電子質量為基本單位，而不選擇其它粒子質量。

物質的量（莫耳）的自然單位就用「個」（一個就是1）就可以了，不必用到「莫耳」，而發光強度（燭光）的自然單位就用「瓦特/立弳」就可以了，因為這兩者的比值僅為發光效率，而發光效率是沒有單位因次的，就跟角度（弳）以及精細結構常數一樣，另外電荷的部分，雖然SI制的基本單位是電流而非電荷，但是實際上，電荷才是更基本的單位（就好比重力米制的基本單位是力而非質量，但是實際上，質量才是更基本的單位）。

（或者你也可以這樣說：普朗克單位制也將亞佛加厥常數$N_{A}$定為1，從而用「個」（一個就是1）作為物質的量的單位（對應國際單位制的莫耳），並且普朗克單位制不考慮發光強度（對應國際單位制的燭光），僅以輻射強度（對應國際單位制的「瓦特每立弳」來表示，就好比普朗克單位制不考慮等效劑量（對應國際單位制的西弗），僅以輻射劑量（對應國際單位制的戈雷）來表示，在普朗克單位制中，發光效率屬於無因次量，就跟弧度和立弳一樣）

基本普朗克單位

每一個單位制都有一組基本單位。（在國際單位制裏，長度的基本單位是公尺，時間的基本單位是秒，等等）在普朗克單位制裏，長度的基本單位是普朗克長度，時間的基本單位是普朗克時間，等等。這些單位都是由表1的五個基礎物理常數衍生的。表2展示出這些基本普朗克單位。

表1：基礎物理常數

常數	符號	因次	國際單位等值與不確定度
真空光速	$c\,\!$	LT−1	299 792 458 m s−1
萬有引力常數	$G\,\!$	L3M−1T−2	6.674 30(15)×10−11 m3 kg−1 s−2
約化普朗克常數	$\hbar \,\!$	L2MT−1	1.054 571 817…×10−34 J s
真空電容率	$\epsilon _{0}\,\!$	L−3M−1T2Q2	8.854 187 8128(13)×10−12 F/m
波茲曼常數	$k_{B}\,\!$	L2MT−2Θ−1	1.380 649×10−23 J K−1

字鍵：$\mathrm {L} \,\!$ = 長度，$\mathrm {T} \,\!$ = 時間，$\mathrm {M} \,\!$ = 質量，$\mathrm {Q} \,\!$ = 電荷，$\Theta \,\!$ = 溫度。因為定義的關係，光速、約化普朗克常數與波茲曼常數的數值是精確值，不存在誤差（在2019年以前，約化普朗克常數與波茲曼常數的數值還不是精確值，反倒真空電容率的數值是精確值，只有光速從1983年以來一直都是精確值，見2019年國際單位制基本單位重新定義）。

表2：基本普朗克單位

單位名稱	因次	表達式		國際單位制等值
		普朗克勞侖茲-黑維塞單位制	普朗克高斯單位制	普朗克勞侖茲-黑維塞單位制	普朗克高斯單位制
普朗克長度	長度 (L)	$l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}$	$l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	6965572938000000000♠5.72938×10−35 m	6965161623000000000♠1.61623×10−35 m
普朗克質量	質量 (M)	$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi G}}}$	$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	6991613971000000000♠6.13971×10−9 kg	6992217647000000000♠2.17647×10−8 kg
普朗克時間	時間 (T)	$t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{5}}}}$	$t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	6957191112000000000♠1.91112×10−43 s	6956539115999999999♠5.39116×10−44 s
普朗克電荷	電荷 (Q)	$q_{\text{P}}={\sqrt {\hbar c\epsilon _{0}}}$	$q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \hbar c\epsilon _{0}}}$	6981529081999999999♠5.29082×10−19 C	6982187555000000000♠1.87555×10−18 C
普朗克溫度	溫度 (Θ)	$T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G{k_{\text{B}}}^{2}}}}$	$T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G{k_{\text{B}}}^{2}}}}$	7031399674000000000♠3.99674×1031 K	7032141681000000000♠1.41681×1032 K

使用普朗克單位後，表1的五個基礎物理常數的數值都約化為1，因此表2的普朗克長度，普朗克質量，普朗克時間，普朗克電荷，與普朗克溫度這些計量也都約化為1。這可以無因次地表達為

（普朗克勞侖茲-黑維塞單位制）因為$c=4\pi G=\hbar =\epsilon _{0}=k_{B}=1\,\!$，所以$l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!$。

（普朗克高斯單位制）因為$c=G=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1\,\!$，所以$l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!$。

衍生普朗克單位

在任何單位系統裏，許多物理量的單位是由基本單位衍生的。表3展示了一些在理論物理研究裏常見的衍生普朗克單位。實際上，大多數普朗克單位不是太大，就是太小，並不適合於實驗或任何實際用途。

表3：衍生普朗克單位

單位名稱	因次	表達式		國際單位制等值
		普朗克勞侖茲-黑維塞單位制	普朗克高斯單位制	普朗克勞侖茲-黑維塞單位制	普朗克高斯單位制
普朗克面積	面積（L2）	$A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^{2}={\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}$	$A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	6931328258000000000♠3.28258×10−69 m2	6930261220000000000♠2.61220×10−70 m2
普朗克動量	動量（LMT−1）	$p_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{4\pi G}}}$	$p_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	7000184064000000000♠1.84064 N⋅s	7000652489000000000♠6.52489 N⋅s
普朗克能量	能量（L2MT−2）	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}$	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	7008551809000000000♠5.51809×108 J	7009195611000000000♠1.95611×109 J
普朗克力	力（LMT−2）	$F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}$	$F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	7042963122000000000♠9.63122×1042 N	7044121029000000000♠1.21029×1044 N
普朗克功率	功率（L2MT−3）	$P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}$	$P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	7051288737000000000♠2.88737×1051 W	7052362837000000000♠3.62837×1052 W
普朗克密度	密度（L−3M）	$d_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}$	$d_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	7094326456000000000♠3.26456×1094 kg/m3	7096515518000000000♠5.15518×1096 kg/m3
普朗克角頻率	角頻率（T−1）	$\omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}$	$\omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	7042523254000000000♠5.23254×1042 rad/s	7043185488999999999♠1.85489×1043 rad/s
普朗克壓力	壓力（L−1MT−2）	$\Pi _{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}$	$\Pi _{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	7111293404000000000♠2.93404×10111 Pa	7113463325000000000♠4.63325×10113 Pa
普朗克電流	電流（T−1Q）	$i_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}\epsilon _{0}}{4\pi G}}}$	$i_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi c^{6}\epsilon _{0}}{G}}}$	7024276844000000000♠2.76844×1024 A	7025347893000000000♠3.47893×1025 A
普朗克電壓	電壓（L2MT−2Q−1）	$U_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\frac {P_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi G\epsilon _{0}}}}$		7027104296000000000♠1.04296×1027 V
普朗克阻抗	阻抗（L2MT−1Q−2）	$Z_{\text{P}}={\frac {U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{c\epsilon _{0}}}=c\mu _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=Z_{0}={\frac {1}{Y_{0}}}$	$Z_{\text{P}}={\frac {U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi c\epsilon _{0}}}={\frac {c\mu _{0}}{4\pi }}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}={\frac {1}{4\pi Y_{0}}}$	7002376730000000000♠376.730 Ω	7001299792000000000♠29.9792 Ω

註：$Z_{0}$為自由空間阻抗，$Y_{0}$為自由空間導納。

簡化物理方程式

嚴格地說，不同因次的物理量，雖然它們的數值可能相等，仍舊不能用在相等式的兩邊。但是，在理論物理學裏，為了簡化運算，我們可以把這顧慮放在一邊。簡化的過程稱為無因次化。表4展示出普朗克單位怎樣通過無因次化使許多物理方程式變得更簡單。

表4：物理方程式與其無因次形式

	通常形式（國際單位制形式）	普朗克勞侖茲-黑維塞單位制形式	普朗克高斯單位制形式
萬有引力定律	$F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!$	$F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{4\pi r^{2}}}\,\!$	$F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!$
薛丁格方程式	$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ $=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!$	$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ $=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!$
普朗克關係式	${E=\hbar \omega }\ \,\!$	${E=\omega }\ \,\!$
狹義相對論的質能方程式	${E=mc^{2}}\ \,\!$	${E=m}\ \,\!$
廣義相對論的愛因斯坦場方程式	${G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ \,\!$	${G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }}\ \,\!$	${G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ \,\!$
一個粒子的每個自由度的熱能	${E={\frac {1}{2}}k_{B}T}\ \,\!$	${E={\frac {1}{2}}T}\ \,\!$
庫侖定律	$F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi r^{2}}}\,\!$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!$
麥克斯韋方程組	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!$ $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho \ \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!$ $\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!$ $\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!$

參閱

• 因次分析
• 物理常數
• 普朗克尺寸
• 普朗克粒子
• 普朗克紀元
• 勞侖茲-黑維塞單位制
• 高斯單位制
• 國際單位制

參考文獻

來源

• Barrow, John D. The Constants of Nature; From Alpha to Omega - The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe. New York: Pantheon Books. 2002. ISBN 0375422218.（這是本簡單易解的書） 
• Duff, Michael, Comment on time-variation of fundamental constants, ArΧiv e-prints, 2002 [2008-09-11], （原始內容存檔於2017-02-07）.（這篇文章評論基礎物理常數可能隨時間而改變） 
• Duff, Michael; Okun, L. B.; Veneziano, Gabriele, Trialogue on the number of fundamental constants, Journal of High Energy Physics, 2002, 3: 023 [2008-09-11], doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023, （原始內容存檔於2015-04-15）（關於到底有幾個最基礎的物理常數的對話） 
• Planck, Max, Über irreversible Strahlungsvorgänge, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899, 5: 440–480 [2008-09-11], （原始內容存檔於2009-04-03）.（除了普朗克電荷與普朗克常數以外，普朗克單位最先出現於這篇文章裡面。） 
• Penrose, Roger. Section 31.1. The Road to Reality. New York: Alfred A. Knopf. 2005. ISBN 0679454438. 

外部連結

• NIST 的基本物理常數數值列表，包括普朗克單位。 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）