數學中,正整數的階加(英語:Termial)是所有小於及等於該數的正整數的和,計為n?。例如:

根據空和的慣例,0?的值為0

該術語是由高德納在《計算機程序設計藝術》中創造的。它是從1n的整數的階乘函數的加法模擬。他用它來說明從正整數到實數的擴展。[1]

正整數的階加也稱為三角形數[2]最初的幾個(OEIS數列A000217)是

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

歷史

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18世紀以來,萊昂哈德·歐拉Leonhard Euler)和其他一些數學家一直試圖將階乘函數的擴展到實數甚至複數,並最終提出了Γ函數[3]1997年,高德納在他的《計算機程序設計藝術》引入了階加函數n?,作為階乘的加法模擬,以便說明域擴展的含義。[1]

定義

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階加函數由和定義

 

最初整數n ≥ 1。這可以用求和符號表示為

 

從這些公式,可以得出遞迴關係式

 

例如:

 

可以使用等差數列的求和公式來計算階加函數:

 

例如: 

零的階加

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為了將遞推關係擴展到n = 0,有必要定義

 

所以

 

非整數的階加

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非整數值的階加函數也可以使用公式 

例如: 

應用領域

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階加在數學中不常使用,但它仍然在一些領域應用,如組合數學

  • 對於n個不同的元素,組合2個元素的方法數量等於(n − 1)?。這就是說
 
  • 在玩4個4時,階加可以是找到所需表達式的有用工具,尤其是在規則不允許使用小數點平方根的情況下(這是因為數字02是不可用的)。例如:
 
 

階加的和和函數

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雙階加

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類似於雙階乘[4],所有奇數直到某個正奇整數n的和稱為n雙階加,和表示為n??。定義為

 

例如: .

n = 1, 3, 5, 7,...的雙階加是平方數序列。[5]它開始為

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...(OEIS數列A000290

質數階加

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質數階加可以作為質數階乘的一個類似物,表示為n§。它被定義為小於或等於n質數之和,即

 

 素數計數函數

例如: 

前幾個結果是

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...(OEIS數列A007504

倒數階加

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倒數階加定義為前n個正整數的倒數之和。它等於第n個調和數[6]

 

例如: 

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.
  2. ^ Weisstein, Eric W. (編). Triangular Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始內容存檔於2007-10-08) (英語). 
  3. ^ Davis, P. J. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. American Mathematical Monthly. 1959, 66 (10) [30 December 2018]. doi:10.2307/2309786. (原始內容存檔於2012-11-07). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (編). Double Factorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始內容存檔於2021-03-07) (英語). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (編). Square Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始內容存檔於2019-03-26) (英語). 
  6. ^ Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 272–282.