階加

在數學中，正整數的階加（英語：Termial）是所有小於及等於該數的正整數的和，計為n?。例如：

$5?=5+4+3+2+1=15\,.$

根據空和的慣例，0?的值為0。

該術語是由高德納在《電腦程式設計藝術》中創造的。它是從1到n的整數的積的階乘函數的加法模擬。他用它來說明域從正整數到實數的擴展。

正整數的階加也稱為三角形數。最初的幾個（OEIS數列A000217）是

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

歷史

18世紀以來，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）和其他一些數學家一直試圖將階乘函數的域擴展到實數甚至複數，並最終提出了Γ函數。1997年，高德納在他的《電腦程式設計藝術》引入了階加函數n?，作為階乘的加法模擬，以便說明域擴展的含義。

定義

階加函數由和定義

$n?=1+2+3+\cdots +(n-2)+(n-1)+n\,,$

最初整數n ≥ 1。這可以用求和符號表示為

$n?=\sum _{i=1}^{n}i.$

從這些公式，可以得出遞迴關係式

$n?=n+(n-1)?\,.$

例如：

${\begin{aligned}5?&=5+4?\\6?&=6+5?\\50?&=50+49?\end{aligned}}$

可以使用等差數列的求和公式來計算階加函數：

$n?={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

例如：$100?={\frac {100\times 101}{2}}=5050$

零的階加

為了將遞推關係擴展到n = 0，有必要定義

$0?=0$

所以

$1?=1+0?=1.$

非整數的階加

非整數值的階加函數也可以使用公式$n?={\frac {n(n+1)}{2}}$。

例如：$({\frac {1}{2}})?={\frac {3}{8}}$

應用領域

階加在數學中不常使用，但它仍然在一些領域應用，如組合數學。

• 對於n個不同的元素，組合2個元素的方法數量等於(n − 1)?。這就是說

${n \choose 2}=(n-1)?\,.$

• 在玩4個4時，階加可以是找到所需表達式的有用工具，尤其是在規則不允許使用小數點和平方根的情況下（這是因為數字0和2是不可用的）。例如：

$13=4?+4-4\div 4$

$18=4!+4?-4\times 4$

階加的和和函數

雙階加

類似於雙階乘，所有奇數直到某個正奇整數n的和稱為n的雙階加，和表示為n??。定義為

$(2k-1)??=\sum _{i=1}^{k}(2i-1)=1+3+5+\cdots +(2k-3)+(2k-1)\,.$

例如：$9??=1+3+5+7+9=25$.

n = 1, 3, 5, 7,...的雙階加是平方數序列。它開始為

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...（OEIS數列A000290）

質數階加

質數階加可以作為質數階乘的一個類似物，表示為n§。它被定義為小於或等於n的質數之和，即

$n\S =p_{\pi (n)}\S =\sum _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}\,,$

$\pi (n)$是素數計數函數。

例如：$11\S =p_{5}\S =2+3+5+7+11=28$

前幾個結果是

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...（OEIS數列A007504）

倒數階加

倒數階加定義為前n個正整數的倒數之和。它等於第n個調和數。

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=H_{n}.$

例如：$\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {11}{6}}.$

參見

• 三角形數
• 求和符號
• 階乘
• 階冪