格羅莫夫–威滕不變量

辛拓扑与代数几何中的不变量

辛拓撲代數幾何中,格羅莫夫–威滕GW不變量有理數,某些情形下可計算在給定辛流形中符合給定條件的偽全純曲線。GW不變量可打包為適當空間中的同調上同調類,或量子上同調上積。這些不變量可用於區分辛流形(以前無法區分),在閉IIA型弦論中起着至關重要的作用。它們得名於米哈伊爾·格羅莫夫愛德華·威滕

格羅莫夫-威滕不變量的嚴格數學定義冗長而困難,在穩定映射條目中單獨討論。本文的重點在直觀解釋不變量的含義、計算方法及其重要性。

定義

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考慮:

  • X:2k辛流形
  • AX中的2維同調類;
  • g:非負整數;
  • n:非負整數。

現在定義與4元組 相關的格羅莫夫–威滕不變量。令 為虧格為g、有n個標記點的曲線的德利涅-芒福德模空間,令 表示對X上某與其辛形式相容的殆復結構J,到XA穩定映射的模空間。 的元素具有如下形式:

 

其中C是(不必穩定)曲線,有n個標記點 與偽全純的 。模空間的實維度為

 

 

表示曲線的穩定化。置

 

具有實維度 。有求值映射

 

求值映射將 基本類送到Y中的d維有理同調類,記作

 

從某種意義上說,這個同調類就是對於X,數據為gnA格羅莫夫–威滕不變量,是辛流形X的辛同痕類的不變量

要從幾何角度解釋格羅莫夫–威滕不變量,令β為 中的同調類, X中的同調類,使 的余維之和為d。根據克奈公式,這些都會在Y中產生同調類。置

 

其中 表示Y的有理同調中的交積。這是一個有理數,即給定類的格羅莫夫–威滕不變量。這個數字給出了偽全純曲線(A類中,虧格為g,域位於德利涅-芒福德空間的β部分,有n個標記點映射到表示 的循環)的「虛擬」計數。

簡單說,GW不變量就是計算有多少條曲線同Xn個選定子流形相交。然而,由於計數的「虛擬」性,它不一定是自然數。因為穩定映射的空間是軌形,其各向同性點可為不變量貢獻非整數值。

這種構造有多種變體,如用上同調取代同調,用積分取代交,從德利涅-芒福德空間拉回的陳類也被積分,等等。

計算技巧

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格羅莫夫–威滕不變量通常很難計算。雖然它們是為任何一般殆復結構J定義的,其中 算子的線性化D滿射,但實際上必須針對特定的選定J計算。事實上,計算通常是在凱勒流形上利用代數幾何技術進行的。

然而,特殊的J可能誘導非滿射的D,從而使得偽全純曲線的模空間大於預期。粗略地說,我們可以通過從D余核形成向量叢(稱作阻礙叢,obstruction bundle),然後將GW不變量變為阻礙叢的歐拉類的積分,以糾正這種影響。要精確化這一思想,需要利用倉西結構進行大量技術論證。

主要的計算技術是局部化,適用於X環面的狀況,即它是由復環面作用的,或至少是局部環面的。然後,我們可以利用阿蒂亞-博特定點定理將GW不變量的計算簡化(局部化)為對作用定點軌跡的積分。

另一種手法是利用辛技術,將X同其他空間聯繫起來,其GW不變量更容易計算。當然,必須首先了解不變量在辛技術中的表現。這時,我們常用更複雜的相對GW不變量,即沿着X的實維度為2的辛子流形,計算滿足切線條件的曲線。

相關不變量與其他構造

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GW不變量與幾何中許多其他概念密切相關,如辛範疇中的唐納森不變量塞伯格-威滕不變量、代數範疇中的唐納森-托馬斯理論等。對緊辛4-流形,克利福德·陶布斯證明,GW不變量的一個變體等價於塞伯格-威滕不變量。人們猜想代數3-流形包含與整數值唐納森-托馬斯不變量相同的信息。物理方面的考慮也產生了戈帕庫馬爾-瓦法不變量,目的是為典型的有理GW理論提供底層整數計數。戈帕庫馬爾-瓦法不變量目前還沒有嚴格的數學定義,這也是該課題的主要問題之一。

光滑射影簇的GW不變量可完全定義在代數幾何中。平面曲線與齊次空間有理曲線的經典枚舉幾何都可用GW不變量來捕捉。不過,GW不變量與經典枚舉計數的主要優勢在於,其在目標的復結構變形時是不變的。GW不變量還提供了辛流形或射影流形上同調環中積結構的變形,可被組織起來構造流形X量子上同調環,則是普通上同調的變形。變形積的結合性,本質上來自用於定義不變量的穩定映射的模空間的自相似。

眾所周知,量子上同調環同構於辛弗洛爾同調及其褲對積(pair-of-pants product)。

在物理學中的應用

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GW不變量在弦論中很熱門。弦論試圖統一廣義相對論量子力學。其中萬事萬物都是由微小的構成的。弦在時空中穿行時,會描繪出一個面,稱作弦的世界面。不幸的是,這種參數化面的模空間是無窮維的(至少先驗地是);其上沒有已知的適當測度,於是這種理論的路徑積分表述缺乏嚴格定義。

在稱作閉A模型的變體中,情況有所改善。這裏有6個時空維度,構成了辛流形,而可證明世界面必由偽全純曲線參數化,其模空間是有限維的。作為模空間上的積分,GW不變量就是這種理論的路徑積分。特別是,A模型在虧格g時的自由能是虧格為g的GW不變量的母函數

另見

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參考文獻

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研究論文

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