主題:幾何學/特色條目/1

直角邊的平方和等於斜邊的平方

畢氏定理(英語:Pythagorean theorem)又稱商高定理畢達哥拉斯定理勾股定理百牛定理,是平面幾何中一個基本而重要的定理。畢氏定理說明,平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度(古稱勾長、股長)的平方和等於斜邊長(古稱弦長)的平方。反之,若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方,則它是直角三角形(直角所對的邊是第三邊)。

畢氏定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。

據《周髀算經》中記述,公元前一千多年周公商高論數的對話中,商高就以三四五3個特定數為例詳細解釋了畢氏定理要素,其一,「以為句廣三,股修四,徑隅五」。其二,「既方其外,半之一矩,環而共盤,得成三四五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。」首先肯定一個底寬為三,高為四的直角三角形,弦長必定是五。最重要的是緊接着論證了弦長平方必定是兩直角邊的平方和,確立了直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊平方的判定原則。其判定方法後世不明其法而被忽略。

此外,《周髀算經》中明確記載了周公後人陳子敘述的畢氏定理公式:「若求邪至日者,以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,並而開方除之,得邪至日」。

趙爽在《周髀算經注》中將畢氏定理表述為「勾股各自乘,並之,為弦實。開方除之,即弦」。

古埃及公元前2600年的紙莎草就有(3,4,5)這一組勾股數,而古巴比倫泥板涉及的最大的一個勾股數組是(18541,12709,13500)。

古希臘發現畢氏定理的是畢達哥拉斯,所以畢氏定理又稱畢達哥拉斯定理。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後,即斬了百頭作慶祝(百牛大祭),因此又稱百牛定理。但這個說法顯然是以訛傳訛,眾所周知畢達哥拉斯主義者在古代以素食聞名。

有些參考資料提到法國和比利時將畢氏定理稱為驢橋定理,但驢橋定理就是等邊對等角,是指等腰三角形的二底角相等,非畢氏定理。