用戶:Jiangbaolu/沙盒

大家都知道，在愛因斯坦的狹義相對論里，運動的時鐘會變慢。但這究竟是為什麼呢？其實這並不需要高深的學問，只要你了解相對運動和平均速度的概念，就能明白其中的道理。下面的例子是專為高中生設計的，可能對其他人也有所幫助。

一個平均速度問題

在一條平緩流動的河裏，一個人正在游泳。由於他以前從沒在河裏游過泳，為了安全起見，他選擇了順着岸邊游。他想從下游的Ａ點開始，游到上游的Ｂ點，然後再返回到Ａ點。如果他在泳池中的游速是 $c$，而河水的流速是 $v$，那麼他一個來回的平均速度是多少？

答案

這個平均速度很容易求，其過程如下：

假設s是A和B之間的距離，那麼

從A到B的時間: $t_{AB}={\frac {s}{c-v}}$
從B到A的時間: $t_{BA}={\frac {s}{c+v}}$
總時間: $t_{sum}=t_{AB}+t_{BA}={\frac {s}{c-v}}+{\frac {s}{c+v}}=2s({\frac {c}{c^{2}-v^{2}}})$
平均速度: $v_{avg}={\frac {2s}{t_{sum}}}={\frac {c^{2}-v^{2}}{c}}=c(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})=c(1-v^{2}/c^{2})$
我們可以看出，他的往返平均速度小於他在泳池中的游速。

修正方案

不巧的是，這個游泳的人正是你的老闆。他對自己的游泳水平非常有信心，如果你說他的平均速度不到 $c$ 的話，他絕對不會相信。所以你只好告訴他鐘錶或者尺子出了問題，並請他等修好以後再試。

該怎麼修呢？

從數學上來講，可以有無數的解決辦法。但在現實中只有三種方案可選：用一個慢的鐘表，或者是用一個短的尺子，再不就是把兩者都變一點兒。

方案一：調慢鐘錶

$t_{fix}=1/(1-v^{2}/c^{2})$

方案二：裁短尺子

$l_{fix}=(1-v^{2}/c^{2})$

方案三：調慢鐘錶並裁短尺子

$t_{fix}=1/{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}$

$l_{fix}={\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}$

修正方案的缺陷

我們的修正公式是怎麼得到的？

首先，我們認為游泳者的運動是相對的，所以利用了相對運動的速度合成公式 $c-v$和 $c+v$，得出了小於 $c$ 的平均速度。然後，我們又把游泳者的運動當成是絕對的，所以又只好把這個速度修正成 $c$。

問題是，當 $v\geq {c}$的時候，以上修正方案都不管用。這很容易解釋。因為在這種情況下，一個人根本無法游去上游。既然往返平均速度沒法得到，自然也就沒辦法把它變成 $c$。

相對論的思路

方案三是否看着有點兒眼熟？它們很像相對論里的時鐘變慢和長度縮短公式，對吧？

這可不是巧合。實際上，該例子正代表了愛因斯坦在其論文中的思路。

在愛因斯坦的相對論論文(英文版)中, 兩個做相對運動的參照系代替了河岸和流水，光束的往返運動代替了游泳者的往返運動。而且，正像我們在前面的例子裏所做的那樣，愛因斯坦首先假定光的運動是相對運動，這可以從相對論推導的第一步中的 $c-v$ 和 $c+v$ 看出：

${\frac {1}{2}}(\tau (0,0,0,t)+\tau (0,0,0,t+{\frac {x'}{c-v}}+{\frac {x'}{c+v}}))=\tau (x',0,0,t+{\frac {x'}{c-v}})$

接着他又假定光的運動是絕對運動，這點可以從論文的第一部分第三節的中部得到驗證：

With the help of this result we easily determine the quantities ξ,η,ζ by expressing in equations that light (as required by the principle of the constancy of the velocity of light, in combination with the principle of relativity) is also propagated with velocity c when measured in the moving system.

不定解問題

為什麼我們得出的公式跟相對論的公式不完全一樣呢？

實際上，我們面對的是一個不定解問題：$y/x=c$。這個方程具有無窮多個解。要想得到一個確定的解，你必須加上額外的限制條件。因為愛因斯坦加的限制條件跟我們不同，所以得出了不同的解。但這種差別並不影響問題的實質。

總結

狹義相對論是相對運動和絕對運動之間的一座橋樑。

這一點最明顯地體現在狹義相對論的速度合成公式中：

$V={\frac {v+w}{1+vw/c^{2}}}$

當 $v$ 和 $w$ 都小於光速 $c$ 時，合成速度同時受兩者的影響。當其中任何一個等於光速 $c$ 時，合成速度永遠是 $c$，和另外一個速度毫無關係！

額外閱讀

如有興趣，可繼續閱讀愛因斯坦的《論動體的電動力學》。該文的部分中文翻譯可以從special-relativity.org下載。關於相對論的基礎概念，可參考愛因斯坦的《相對論：狹義和廣義理論》(英文版，來自Gutenberg Project)。該書是針對大眾的，淺顯易懂。