林德曼-魏爾斯特拉斯定理

林德曼-魏爾斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一個可以用於證明實數的超越性的定理。它表明，如果 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 是代數數，在有理數 ℚ 內是線性獨立的，那麼 $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ 在 ℚ 內是代數獨立的；也就是說，擴張域 $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})$ 在 ℚ 內具有超越次數 n。

一個等價的表述是：如果 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 是不同的代數數，那麼指數 $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ 在代數數範圍內是線性獨立的。

這個定理由林德曼和魏爾斯特拉斯命名。林德曼在1882年證明了對於任何非零的代數數 $\alpha$ ， $e^{\alpha }$ 都是超越數，因此推出了圓周率是超越數。魏爾斯特拉斯在1885年證明了一個更一般的結果。

這個定理，以及格爾豐德-施奈德定理，可以推廣為Schanuel猜想。

e和π的超越性

e和π的超越性是這個定理的直接推論。

假設 $\alpha$ 是一個非零的代數數，那麼 $\left\{\alpha \right\}$ 在有理數範圍內是線性獨立的集合，因此根據定理的第一種表述， $\left\{e^{\alpha }\right\}$ 是一個代數獨立的集合，也就是說， $e^{\alpha }$ 是超越數。特別地， $e^{1}=e$ 是超越數^。

另外，利用定理的第二種表述，我們可以證明，如果 $\alpha$ 是一個非零的代數數，那麼 $\left\{0,\alpha \right\}$ 就是不同的代數數的集合，因此集合 $\{e^{0},e^{\alpha }\}=\{1,e^{\alpha }\}$ 在代數數範圍內是線性獨立的，特別地， $e^{\alpha }$ 不能是代數數，因此一定是超越數。

現在，我們來證明 $\pi$ 是超越數。如果π是代數數， $2\pi i$ 也是代數數（因為 $2i$ 是代數數），那麼根據林德曼-魏爾斯特拉斯定理， $e^{2\pi i}$ （參見歐拉公式）也是超越數，這與1是代數數的事實矛盾。

把這個證明稍微改變以下，可以證明如果 $\alpha$ 是一個非零的代數數，那麼 $\sin(\alpha )$ 、 $\cos(\alpha )$ 、 $\tan(\alpha )$ 和它們的雙曲函數也是超越數。

$p$ 進數猜想

$p$ 進數林德曼-魏爾斯特拉斯猜想，就是這個定理在p進數中也成立：假設 $p$ 是素數， $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ 是 $p$ 進數，它們都是代數數，且在ℚ內線性獨立，使得對於所有的 $i$ ，都有 $|\alpha _{i}|_{p}<1/p$ 。那麼p進指數 $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ 在ℚ內是代數獨立的。