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圓周率近似值隨時間的發展


目录

早期歷史编辑

中世紀编辑

16至19世紀编辑

20世紀编辑

21世紀编辑

比較不準確的近似值编辑

值得注意的是,一些法律或歷史文本欲「定義π」為有理數,尤其是1897年的「印第安納州法案」,指明「直徑和圓周比例為四分之五比4(暗示「π= 3.2」);和希伯來聖經中的一個段落,暗示「π= 3」。

聖經估算的價值编辑

印第安納州法案编辑

計算圓周率近似值的方程的發展编辑

梅欽類公式(Machin-like formulae)编辑

其他古代公式编辑

現代公式编辑

二進制數位公式编辑

π和一個碎形编辑

多方面的近似值编辑

在古代,人們使用60進制來計算。在60進制中,π能被準確至小數點後八位(十進制),而這數字是3:8:29:4460,即是:

 

(下一個60進制的數位為0)

除此之外,π還能以以下方式表示:

  • 準確至3位:
 
  • 準確至4位:
 [1]
  • 準確至4位:
 [2]
 
  • 準確至5位:
 
  • 準確至7位:
 
  • 準確至9位:
 
這是拉馬努金提出的,拉馬努金說他在夢中收到印度神Namagiri的啟示。[3]
  • 準確至10位:
 
  • 準確至10位:
 
  • 準確至18位:
 [4]
  • 準確至30位:

圓形的面積编辑

可以通过蒙特卡洛方法来计算圆周率 

以原点(0, 0)为圆心,画一个半径为 的圆。然后以原点为中心,画一个边长为 的正方形。圆和正方形内切。

圆的面积为 ,正方形的面积为 

于是有, 

通过生成0到r之间随机数作为一个点的横纵坐标,所有点均落在正方形内。

通过统计圆内的点数 与总点数  

当随时点的数目增加时,所得结果会越接近于圆周率。

但是该方法也有不足之处。具体可参考蒙特卡洛方法

以正多邊形來計算π的值编辑

連分數编辑

π連分數表示式是[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]。這連分數沒有任何模式。π有很多用一條簡單的規矩然製成的廣義連分數

 
 

(其他連分數能在這裡查看。)

三角函數编辑

莱布尼茨公式编辑

反正切编辑

反正弦编辑

薩拉明 - 布倫特公式编辑

計算任意數位的方法编辑

在1995年,西蒙·普勞夫發現了贝利-波尔温-普劳夫公式。這公式能在16進制中計算pi的任意數位,而不用計算之前的數位。[5]

 

在1996年,西蒙·普勞夫發明了一個公式,能在O(n3log(n)3)的時間之內計算出pi在任意進制的第n個數位[6]。在1997年,法布里斯·贝拉發明了另一個公式,把計算所需時間縮短至O(n2)。他又發明了在2進制計算pi的公式。[7]

 

有效的方法编辑

在1961年,丹尼爾柄英语Daniel Shanks和他的團隊在美國海軍研究實驗室計算了π的前100,000數位。

他和他的團隊使用了兩個不同的幂級數來計算π的數值。第一個幂級數中,任何錯誤都會造成一個比較高的數值;而另一個中,任何錯誤都會造成一個比較低的數值。所以如果兩個幂級數計算出同樣的數值,那個數值就肯定正確。美國海軍研究實驗室發放了π的前100,000數位。

但是以上的兩個幂級數也要很長的時間才能計算出結果。相反地,約翰·梅欽英语John Machin的公式與反正切泰勒级数一起使用則能很快地計算結果:

 

使用複數極坐標系便能證實這公式,以以下的數學式開始:

 

這類的公式被稱為梅欽類公式。(注意,{ x,y} = {239, 132}是佩爾方程x2-2y2 = -1」的其中一個解答。)

印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金發現了π的很多其他表示方式。他與戈弗雷·哈罗德·哈代一起工作了很多年。

如果要計算π小數點後很多位,計算者通常會使用高斯-勒让德算法波尔温公式英语Borwein's algorithm,和1976年發明的薩拉明 - 布倫特公式

π1/π的小數點後首十萬位能在古腾堡计划裡查閱(參見#外部連結)。

在2002年12月,在東京大學進修的金田康正發放了π小數點後1,241,100,000,000位的值,創造了新的世界記錄。他在2002年9月以六十四部日立超級電腦計算出這值。這些電腦有1TB的記憶體,而且能在每秒執行2兆次運算。上一個記錄(21億位)所使用的電腦每秒只能執行1兆次運算。金田康正使用了以下公式:

 
K. Takano (1982).
 
F. C. W. Störmer (1896).

這些近似值由於有太多數位,所以沒有實際用途,只是用來測試超級電腦。

在1997年,大衛·貝利(David H. Bailey英语David H. Bailey)、皮特·波爾溫英语Peter Borwein西蒙·普勞夫發佈了一條新的公式來計算π的值:

 

這公式能在不知道前k - 1數位的值之下,在2進制16進制中計算出π的第k個數位的值。貝利的網頁包含了計算方法,而且把方法以幾個程式語言記下。PiHex英语PiHex計算出π小數點後一兆數位的值。

法布里斯·贝拉推出了贝利-波尔温-普劳夫公式的改良版——貝拉公式

 

還有其他計算π的值的公式:

 
牛頓
 
斯里尼瓦瑟·拉马努金

拉馬努金的公式收歛的速度異常地快,這公式後來在2000年演變成最快的公式:

 
David ChudnovskyGregory Chudnovsky.

關於圓周率近似值的計劃编辑

計算圓周率近似值的軟件编辑

General purpose编辑

大多数计算机代数系统可以计算出π和其他常见的数学常数到任何所需的精度。

计算π的功能中还包括许多通用库任意精度算术运算,例如CLNMPFR

參考資料编辑

  1. ^ A nested radical approximation for pi 互联网档案馆存檔,存档日期2011-07-06.
  2. ^ Gardner, Martin. New Mathematical Diversions. Mathematical Association of America: 92. 1995 .
  3. ^ "Lost notebook page 16" ,Ramanujan
  4. ^ CetinHakimoglu–Brown
  5. ^ MathWorld: BBP Formula Wolfram.com
  6. ^ Simon Plouffe, On the computation of the n'th decimal digit of various transcendental numbers, November 1996
  7. ^ Bellard's Website:Bellard.org