基 (拓撲學)

(重定向自拓扑基

拓扑学的相关领域中,拓撲基(base 或 basis) 是一群子集,可以由它們的任意并集構成一個拓扑結構。基在拓扑学的作用在於許多拓撲的性質可轉換成基的性質,像是拓撲意義下的连续就可以直接對基來做定義。

動機

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拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集,它們的任意并集都是「」的;嚴謹來說,若  集合   的一個子集族,怎樣能使   內任意一群子集之并集所組成的  

 

  上的拓扑

定理 — 
集合  子集族   , 設 :

 

則「    上的拓扑 」,等價於以下兩條件:

  •  
  • 對所有   
證明

以下逐條檢驗拓扑的定義:

(1) 等價於「  」的條件

  ,則:

 (a)

考慮到   ,所以根據有无限并集性質的定理(1)與(2)有

 

但根據无限并集性質的定理(1),(a)又等價於:

 

所以有:

 

所以從   有:

  (a1)

反之若有 (a1),因為   ,所以有   。故在本定理的前提下,(a1)等價於  

(2)  

首先考慮到  ,然後從无限并集性質的定理(0)有  ,故  

(3) 對任意   

首先,  可等價地展開為

 (b)

上式可直觀地解釋成「   都是   內某些集合的并集」,既然如此,取一個蒐集各種不同  子集的集族  

 

這樣根據有限交集的性質,  等價於

 

考慮到一阶逻辑的定理(Ce),將  移至最前,再將 移入括弧內 ,上式就依據(Equv)而等價於

 

也就等價於

 

根據无限并集性質的定理(4),從(b)有

 

這樣根據无限并集性質的定理(1)又會有

 

考慮到   ,從无限并集性質的定理(1)與定理(2)有

 

所以最後從(b)有

 

所以   最後等價於

 

換句話說

 

這樣考慮到   就有

 

所以在本定理的前提下, 對所有   都有  

(4)等價於「   」的條件

「對所有的   」(P)

因取任意   都有:

 
 

  ,換句話說從假設(P)可以推出:

「對所有   」(P')

另一方面,   可等價地展開為:

 

因為   可等價地展開為:

 
 

所以在   的前提下   又可更進一步等價地展開為:

 

此時考慮到一阶逻辑的定理(Ce),連續使用兩次會有:

 

這樣的話,若取一個包含所有   的集族:

 

這樣就有:

 

而且考慮到    ,所以在(P')的前提下,所有的   都在   裡,換句話說,  ,故從上小結的結果有:

 

所以,(P')跟(P)等價

綜合上面的(a1)、(a2)、和(P'),本定理得證。 

一般會根據无限并集性質的定理(4),將第二個條件等價的寫為:

「對所有   

也就等價於:

「所有的   ,對任意   都存在   使得  

定義

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由上面動機一節的定理,可以作如下的定義:

定義 — 
 集合   的一個子集族,若滿足:

  •   (基的元素覆蓋 
  • 所有的   ,對任意   都存在   使得  

則稱    的一個拓撲基(Topological Basis)。而:

 

則稱為由基   所生成的拓撲

範例

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以所有實數線中的開區間為元素所構成的集合是拓撲基,因為:

  • 任意實數   都包含在某個開區間裡,如   。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。
  • 任何兩個開區間的交集要么也是開區間要么為空。
  • 對任意開區間   內的實數   ,都有一個比   更小的開區間也包含   ,如  

這些性質正好滿足拓撲基的定義。

更一般的來說,以度量空间開球為元素所構成的集合是拓撲基,因為:

  • 度量空間的任意點都可作為開球的球心,故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。
  • 取任二開球  ,若 ,且  ,則 

重要性質

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定理 — 
 集合   的拓撲基,則   生成的拓撲是包含  最粗拓撲

證明
  所生成的拓撲是   ;另一方面包含  最粗拓撲 

根據最粗拓撲的定義有:

 (a)

那以量词公理(A4)  去掉會有:

 

那再使用量词公理(A4),配合(D1)會有:

 

因為    所生成的拓撲,配合(D2)有:(  為 「   的拓撲基」的正式敘述)

 

另一方面,根據拓撲基的定義有:

 

而根據拓扑的定義(關於聯集的部分)與演繹定理會有:

 

這樣根據(GEN)演繹定理就有:

 

換句話說,從演繹定理(D1)有:

 

那從普遍化元定理就有:

 

這樣從(a),配合(AND)(D1)就有:

 

這樣從(AND)演繹定理就有:

 

套用(GEN)  重新加入就會有:

 

故本定理得証。 

定理 — 
   都是集合   的拓撲基,而    生成的拓撲;    生成的拓撲,則以下兩敘述價

  •  
  •  
證明
  • 如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基,則集合積 B1 × B2 × ... × Bn乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用,除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
  • BX 的基并設 YX子空間。那么如果我們交 B 的每個元素於 Y,結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。

定理 — 
 集合  的拓撲基(其生成的拓撲為 );  為一拓扑空间 為一函数。若對任意  ,則  - 连续

證明
 ,根據基的定義,存在 使得:
 

這樣的話,若取:

 

則有:

 
 

這樣根據拓撲空間的定義就有:

 

  - 连续 

  • X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。
  • B 是拓撲空間 X 的基,當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基,對于 X 的任何點 x
  • 給定拓撲的一個基,要證明或序列的收斂,在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

依據基定義的對象

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閉集基

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閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 XX閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 AF 的元素的交集

等價的說,閉集族形成了閉集基,如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x,存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x

容易檢查 FX 的閉集基,當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。

FX 的閉集基。則

  1. F = ∅
  2. 對於每個 F1F2F 中,并集 F1F2F 的某個子族的交集(就是說,對于任何不在 F1F2x,存在一個 F3F 包含 F1F2 并不包含 x)。

滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。

在某些情況下,更習慣使用閉集基而非開集基。例如,一個空間是完全正規空間,當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X,零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下,在 An 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

準基

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若拓扑空間 是最小的拓扑使得 的子集的集 都是 的開集,則稱  的一個準基(subbasis/subbase)。另一等價的定義為,若 及其所有有限交集構成了拓扑空間 之基,則 準基

例子:

  • 實數線上,所有長度為1的開區間便是一個準基。

J.W. 亞歷山大證明了:若每個準基覆盖都有一個有限個元素的子覆蓋,則此空間是緊緻的。

注釋

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參考文獻

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  • James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
  • Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.