無限面體

無限多個面的多面體
正無限面體
無限面體
正方形鑲嵌,是無限面體的一個例子
類別 多面體
平面鑲嵌
頂點
歐拉特徵數 F=∞, E=∞, V=∞ (χ=2)
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram 三種正無限面體
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png三角形鑲嵌
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png正方形鑲嵌
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png六邊形鑲嵌
施萊夫利符號 {p,q}
其中(p-2)(q-2) = 4
對稱群 超二面體群 (D)
對偶 仍為無限面體
但可能有不同幾何結構
二面角 180°
特性 非嚴格凸球內接多面體等邊多面體等角多面體平面

無限面體(英語:Apeirohedron),是多面體的一種,意指有無限個面、無限無限頂點多面體。一般是指所有的平面密鋪的集合

歐幾里得幾何中,無限面體是一個退化多面體,其面數是可數集的數量,其邊數與頂點數將符合V-E+F= 2,但只能利用求極限得出。無限面體跟多面體一樣,有頂點、和,角也包含有二面角,只是他們全部共面。無限面體並不是,因為在多面體的定義中,面不能為曲面、邊不能為曲線

無限面體為無限邊形在三維空間的類比,與平面鑲嵌是等價的。無限面體可以密鋪空間,如同無限邊形密鋪平面,兩個無限面體面體即可堆砌填滿整個空間,這種幾何結構稱為二階無限面體堆砌

一般對兩種主要無限面體類型有研究:

正無限面體编辑

正無限面體正多面體的一種,是指每個全等、每條都等長、每個都等角的無限面體,就如同一般的正多面體。其二面角180,為一平角

滿足這些條件的幾何圖形只有平面鑲嵌,在施萊夫利符號中用{p,q}表示,其中p、q滿足等式(p-2)(q-2) = 4。

图像  
三角形鑲嵌
 
正方形鑲嵌
 
六邊形鑲嵌
施萊夫利符號 {3,6} {4,4} {6,3}

正無限面體可以有外接球內切球,但他們的半徑必須是無限大

無限胞體编辑

無限胞體(英語:Apeirotope)意指有無限無限無限無限頂點多胞體

其性質皆與無限面體相似,由空間密鋪即空間堆砌組成。四维空間的正無限胞體只有一種,即立方體堆砌[1]

維度 三維
退化四維
四維
退化五維
图像  
立方體堆砌
 
超立方體堆砌
 
十六胞體堆砌
施萊夫利符號 {4,3,4} {4,3,3,4} {3,3,4,3}

扭歪無限面體编辑

 
一個扭歪無限面體的例子

扭歪無限面體也是一種無限面體,其與一般無限面體差異在於扭歪無限面體並非所有頂點都共面,可以視為無限邊形扭歪無限邊形之差異在三維空間的類比。

所有面都全等、角也相等的扭歪無限面體為正扭歪無限面體。三維空間的正扭歪無限面體有三種:

圖像  
四角六片四角孔扭歪無限面體
 
六角四片四角孔扭歪無限面體
 
六角六片三角孔扭歪無限面體
施萊夫利符號 {4,6|4} {6,4|4} {6,6|3}

雙曲空間编辑

此外,由於雙曲鑲嵌也是由無限多個雙曲平面構成的圖形,因此雙曲鑲嵌也可以做為一種無限面體[2]

圖像  
七階三角形鑲嵌
 
五階正方形鑲嵌
 
四階五邊形鑲嵌
 
四階六邊形鑲嵌
 
七邊形鑲嵌
施萊夫利符號 {3,7} {4,5} {5,4} {6,4} {7,3}

參見编辑

參考文獻编辑

  1. Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  p.296, Table II: Regular honeycombs
  2. Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
  3. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 164–199. ISBN 0-486-23729-X.  Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
  4. Critchlow, K.: Order in space.
  5. Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.
  1. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  2. ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.