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科恩-麥考利環

(重定向自科恩-麦考利环

交換代數中,Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質(例如局部等維性)的交換環

此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利Francis Sowerby Macaulay)與欧文·索尔·科恩Irvin S. Cohen) 命名,麦考利(1916年)證明了多項式環純粹性定理,科恩(1946年)則證明了冪級數環的情形;事實上所有Cohen-Macaulay環都具純粹性。

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形式定義编辑

若交換局部環   滿足  ,其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数,則稱之為Cohen-Macaulay環。此性質在局部化之下不變。

一般而言,若交換環   對所有素理想的局部化皆為Cohen-Macaulay環,則稱之為Cohen-Macaulay 環

若一個概形的所有局部環皆為Cohen-Macaulay環,稱之為Cohen-Macaulay概形

例子编辑

  • 正則局部環皆為 Cohen-Macaulay 環。
  • Gorenstein環皆為 Cohen-Macaulay,其中重要的特例是完全交環
  • 有理奇點對應到 Cohen-Macaulay 環,卻不一定是 Gorenstein 環。
  • 阿廷環皆為 Cohen-Macaulay 環。
  •  冪級數  的一維子環   並非正則環,而仍屬 Gorenstein 環。
  • 承上,  並非 Gorenstein 環,而仍屬 Cohen-Macaulay 環。
  • 一般而言,任何一維的諾特整環都是 Cohen-Macaulay 環。

幾何詮釋编辑

Cohen-Macaulay 條件的一種詮釋見諸凝聚對偶性,其中模的「對偶化對象」本屬於某個導範疇,當考慮的環是 Cohen-Macaulay 環時,該對象可由某個模代表。Gorenstein 條件則更精細,它斷言此對偶對象由可逆層代表。正則性最強,它對應於交換環譜在該點的平滑性。就幾何觀點,Gorenstein 與 Cohen-Macaulay 條件是平滑性的逐步推廣,在此框架下可以證明較廣的幾何定理。

純粹性定理编辑

 諾特環  為其理想。若對每個  相伴素理想   皆有  ,則稱  純粹的。若每個能由   個元素生成之理想   都是純粹的,則稱   滿足純粹性定理。一個諾特環   滿足純粹性定理若且唯若它是 Cohen-Macaulay 環。

文獻编辑

外部連結编辑