几何学中,双罩帐又称为双丸塔birotunda),是指一系列属于二面体群多面体,由两个罩帐通过边数较大的底面以底面对底面的方式贴合而成[1]。 其与双帐塔英语Bicupola (geometry)类似但不是正方形和三角形交替构成,而是五边形和三角形交替并绕轴构成。双罩帐有两种形式,分别为以相同相位叠合,称为同相双罩帐orthobirotunda[2], 和以相异相位叠合,称为异相双罩帐gyrobirotunda[2]。 同相双罩帐可以视为罩帐以边数较多的底面作为镜像面镜射产生另一个罩帐组合而成的立体;而异相双罩帐则为两个罩帐之间除了是镜像之外,还差了一个旋转角叠合构成。

双罩帐
同相双五角罩帐异相双五角罩帐
以同相(左)/异相(右)双五角罩帐为例
类别双罩帐
对偶多面体#对偶多面体一节
性质
顶点
欧拉特征数F=, E=, V= (χ=2)
组成与布局
面的种类2个n边形
2n个五边形
4n个三角形
对称性
对称群同相:Dnh英语Dihedral symmetry in three dimensions, [n,2], (*n22), 4n
异相:Dnd, [2n,2+], (2*n), 4n
旋转对称群
英语Rotation_groups
Dn, [n,2]+, (n22), 2n
特性
图像

#对偶多面体一节
对偶多面体
注:底面边数 。

双五角罩帐是唯一一个能够以所有面皆为正多边形的形式存在的罩帐。 两种形式中,一个是詹森多面体,另一个是半正多面体:[3]

例子

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双罩帐有无限多种,最小的双罩帐是双三角罩帐。能以所有面皆为正多边形之形式存在的双罩帐只有双五角罩帐[2],其他双罩帐的五边形面都会有一定程度的形变,即使其所有边等长,也未必能所有角等角。[2]

双罩帐根据两底面的方向性可以分成“同相”和“异相”两种情况。其中,“同相”表示顶面和底面相同方向,而“异相”则表示顶面和底面差了一个旋转角,角度为底面多边形中心角的一半。

双罩帐
4 5 6 7 8
 
同相双四角罩帐
 
同相双五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda
 
同相双六角罩帐
 
同相双七角罩帐
 
同相双八角罩帐
 
异相双四角罩帐
 
异相双五角罩帐
 
异相双六角罩帐
 
异相双七角罩帐
 
异相双八角罩帐

对偶多面体

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双罩帐对偶
  
以同相/异相双六角罩帐的对偶多面体为例
类别双罩帐对偶
性质
 
 
顶点 
欧拉特征数F= , E= , V=  (χ=2)
组成与布局
面的种类同相:

异相:

对称性
对称群同相:Dnh英语Dihedral symmetry in three dimensions, [n,2], (*n22), 4n
异相:Dnd, [2n,2+], (2*n), 4n
旋转对称群
英语Rotation_groups
Dn, [n,2]+, (n22), 2n
特性
注: 为底面边数 。

双罩帐可以分成同相双罩帐和异相双罩帐,这两种立体的对偶多面体各不相同。其中,异相双罩帐的对偶多面体由鹞形菱形组成,尤其是异相双五角罩帐的对偶多面体全部皆由菱形构成,是一种卡塔兰立体——菱形三十面体[5]

异相双罩帐的对偶多面体
4 5 6 7
 
异相双四角罩帐
的对偶多面体
 
异相双五角罩帐
的对偶多面体
菱形三十面体
 
异相双六角罩帐
的对偶多面体
 
异相双七角罩帐
的对偶多面体
 
异相双四角罩帐
 
异相双五角罩帐
 
异相双六角罩帐
 
异相双七角罩帐

而同相双罩帐的对偶多面体除了构成异相双罩帐的鹞形菱形外,还会在赤道面上有一圈梯形

同相双罩帐的对偶多面体
4 5 6 7
 
同相双四角罩帐
的对偶多面体
 
同相双五角罩帐
的对偶多面体
 
同相双六角罩帐
的对偶多面体
 
同相双七角罩帐
的对偶多面体
 
同相双四角罩帐
 
同相双五角罩帐
 
同相双六角罩帐
 
同相双七角罩帐

相关多面体

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双罩帐柱

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双罩帐柱是指在双罩帐的两个罩帐中间加入柱体所形成的立体,与双罩帐一样,可分为“同相”及“异相”两种。仅有同相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda异相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda属于詹森多面体。[6][7]

双罩帐柱
4 5 6 7
 
同相双四角罩帐柱
 
同相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda
 
同相双六角罩帐柱
 
同相双七角罩帐柱
 
异相双四角罩帐柱
 
异相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda
 
异相双六角罩帐柱
 
异相双七角罩帐柱

双罩帐反角柱

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双罩帐反角柱又称为双罩帐反棱柱是指在双罩帐的两个罩帐中间加入反角柱所形成的立体。仅有双五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda属于詹森多面体。[8]

双罩帐反角柱
4 5 6 7
 
双四角罩帐反角柱
 
双五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda
 
双六角罩帐反角柱
 
双七角罩帐反角柱

参考文献

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Birotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Johnson, Norman W.英语Norman Johnson (mathematician), Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics英语Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
  3. ^ Victor A. Zalgaller英语Victor Zalgaller. Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau. 1969. No ISBN. 
  4. ^ Icosidodecahedron. polyhedra.tessera.li. [2023-01-17]. (原始内容存档于2023-01-17). 
  5. ^ Icosidodecahedron. polyhedrongarden.com. [2023-01-17]. (原始内容存档于2023-01-17). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated Pentagonal Orthobirotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  7. ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated Pentagonal Gyrobirotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (编). Gyroelongated Pentagonal Birotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).