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截半二十面體
截半二十面体
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 半正多面體
32
60
頂點 30
歐拉特徵數 F=32, E=60, V=30 (χ=2)
面的種類 正三角形
正五邊形
面的佈局英语Face configuration 20{3}+12{5}
頂點圖 3.5.3.5
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDW dot.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
施萊夫利符號
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 | 3 5
康威表示法 ID
對稱群 Ih
參考索引 U24, C28, W12
對偶 菱形三十面體
特性 quasiregular
立體圖 Icosidodecahedron vertfig.png
3.5.3.5
頂點圖
Rhombictriacontahedron.svg
菱形三十面體
(對偶多面體)
Icosidodecahedron flat.svg
(展開圖)

幾何學中,截半二十面體是一種由正五邊形正三角形組成的三十二面體[1],是一種阿基米德立體。其每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點、每條稜都是三角形和五邊形交稜,因此具有每個頂角相等和二面角相等的性質,因此截半二十面體是半正多面體也是擬正多面體

性質编辑

截半二十面體每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點,其頂點圖可以用   表示,也可以簡寫為   [2]

截半二十面體每十條棱可以成為一個正十边形,共有六個獨立的十邊形。而這六個獨立的十邊形也可以獨立地與立體中的三角形或五邊形單獨構成星形多面體

體積與表面積编辑

邊長為a的截半二十面體的表面積約為 體積約為 ,可由下列算式計算[3]

   
 

二面角编辑

截半二十面體是一種稜可遞的多面體,即每個稜、二面角以及組成二面角的兩個面和其他稜的組成都具相同的性質,因此其具有所有二面角相等的性質。截半二十面體的二面角[4]

 

頂點坐標编辑

邊長為單位長且幾何中心位於原點的截半二十面體,其頂點坐標[5][6]

 [7]
1/2, ±φ/2, ±1 + φ/2)[7]

其中φ是黃金比例,值為 

作法编辑

將一個正十二面體正二十面體進行截半變換即可得到一個截半二十面體,因此截半二十面體又稱截半十二面體,即截半與對偶截半等價。

正交投影编辑

截半二十面體有四種具有特殊對稱性的正交投影,分別是頂點為中心、邊為中心、三角形面為中心以及五邊形面為中心。所述後者兩種正交投影,其對稱性對應於A2 和 H2的考克斯特平面[8]

截半二十面體的正交投影
建立於 頂點 三角形面 五邊形面
圖像        
投影對稱性     [6] [10]
對偶圖像        

相關多面體及鑲嵌编辑

相關多面體编辑

有八種均勻的星形多面體以及2種複合多面體與截半二十面體有著相同的頂點排佈:

原始形狀
星形  
截半二十面體
 
小二十面半十二面體英语Small icosihemidodecahedron[9]
 
小十二面半十二面體英语Small dodecahemidodecahedron[9]
星形多面體  
大截半二十面體
 
大十二面半十二面體英语Great dodecahemidodecahedron
 
大二十面半十二面體英语Great icosihemidodecahedron
 
十二合十二面體
 
小十二面半二十面體英语Small dodecahemicosahedron
 
大十二面半二十面體英语Great dodecahemicosahedron
複合多面體  
五複合正八面體
 
五複合四面半六面體英语Compound of five tetrahemihexahedra

截半二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果,其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有:

正二十面体家族半正多面体
對稱群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 137, 1987. ISBN 978-0486253572
  2. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Icosidodecahedron. (3.5)2." §3.7.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 108, 1989.
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. Icosidodecahedron. MathWorld. 
  4. ^ Archimedean Solids: Icosidodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24). 
  5. ^ The Icosidodecahedron. eusebeia. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-12-03). 
  6. ^ 埃里克·韦斯坦因. Icosahedral group. MathWorld. 
  7. ^ 7.0 7.1 Richard Klitzing. icosidodecahedron: o3x5o - id. 3D convex uniform polyhedra. bendwavy. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-03-24). 
  8. ^ Coxeter Planes 页面存档备份,存于互联网档案馆 and More Coxeter Planes 页面存档备份,存于互联网档案馆 約翰·史坦布里奇英语John Stembridge
  9. ^ 9.0 9.1 icosidodecahedron:Id-facetings. polyedergarten. [2016-08-30]. (原始内容存档于2017-01-11). 

外部連結编辑