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立方體的頂點圖為正三角形
三角柱的頂點圖是一個等腰三角形。其中等腰三角形的底邊位於三角柱的三角形面,另外兩腰位於正方形面上。為了要方便表達這個頂點圖的性質,我們可以使用頂點佈局英语Vertex configuration符號3.4.4表是,其代表頂點圖的等腰三角形其中一條邊來自來源多面體三角形、兩條來自來源多面體的正方形。

幾何學中,頂點圖是一種用於描述幾何圖形頂角特性的方式,大致上是將一個幾何圖形角被切去時所露出的形狀[1]

定義编辑

先從多面體上選一個頂點,將該頂點的連出去的邊所連接到的頂點標記起來,將這些標記跨越相鄰面連接起來,這些線形成完整的一周,也就是一個環繞著該頂點的多邊形,這個多邊形即為該多面體的頂點圖[2]

正幾何圖形编辑

 
大二十面體的頂點圖是五角星,可以用施萊夫利符號計為{5/2}

若一個幾何圖形正圖形,其本身和頂點圖就都能夠使用施萊夫利符號表示。

正圖形施萊夫利符號一般會寫成 {a,b,c,...,y,z} 的形式,胞為 {a,b,c,...,y},頂點圖則可以表示為 {b,c,...,y,z}。

  1. 正多面體在施萊夫利符號中計為{p,q},其頂點圖就是一個正q邊形,在施萊夫利符號中計為{q}。
    • 舉例來說,立方體在施萊夫利符號中計為 {4,3},其頂點圖是正三角形,在施萊夫利符號中計為 {3}。
  2. 四維正圖形英语regular 4-polytope三維空間填充在施萊夫利符號中計為{p,q,r},其頂點圖在施萊夫利符號中就計為{q,r}.
    • 舉例來說,超立方體在施萊夫利符號中計為{4,3,3},其頂點圖是正四面體,在施萊夫利符號中計為{3,3}。
    • 同樣的,立方體堆砌的施萊夫利符號為{4,3,4},其頂點圖是施萊夫利符號計為{3,4}的正八面體

範例编辑

 
部分的截角立方體堆砌

以截角立方體堆砌為例,其頂點圖為一個非正的四角錐。

頂點圖:不規則四角錐  
施萊格爾圖英语Schlegel diagram
 
透視圖
八面體的正方形頂點圖  
(3.3.3.3)
四個來自截角立方體的等腰三角形  
(3.8.8)

稜圖编辑

 
截角立方體堆砌有兩種稜的角,其中一種是4個截角立方體的公共稜,另一種是1個正八面體和兩個截角立方體的公共稜。可以以2個稜圖來表示,也就是說其頂點圖的頂點圖有兩種可能。

稜圖是頂點圖的頂點圖[3],可用於描述幾何圖形的角(在三維空間中可理解為二面角)的特性。

往更高的維度推廣,還有面圖、胞圖,面圖用於描述幾何圖形的四維面與面的交角,可以理解為堆砌體中,面與面接合的部分,雖然三維的面與面交會的部分都是平角,但到四維空間就可以存在角度,類似二面角那樣,到五維空間就會需要類似頂點圖的面圖來描述其結構(類似於正多邊形鑲嵌的多邊形與多邊形棱的交會部分,因為是在平面上,因此這個二面角當然會是平角,但到了三維空間,這種角就會出現角度、四維以上就會有不止兩個圖形交會於此,因此需要棱圖來描述)。其他更高維度還有胞圖、n維胞圖等。

依此概念繼續推廣還有面圖、胞圖......以此類推。他們用來描述高維度的幾何體對應元素的結構。

參見编辑

參考文獻编辑

參考資料
  1. ^ 埃里克·韦斯坦因. Vertex figure. MathWorld. 
  2. ^ H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
  3. ^ Klitzing:Vertex figures,etc.. 
參考書籍
  1. H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
  2. P. Cromwell, Polyhedra, CUP pbk. (1999).
  3. H.M. Cundy and A.P. Rollett, Mathematical Models, OUP (1961).
  4. J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 278 A (1975) pp. 111–135.
  5. M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
  6. The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p.289 Vertex figures)

外部連結编辑