森田等價

在抽象代數中，森田等價（Morita equivalence）是定義在環之間的一個等價關係，這個等價保持許多環論性質。以日本數學家森田紀一命名，他在1958年定義了這個等價關係以及對偶性的一個類似概念。

動機

通常通過研究環上的模來研究環本身，因為模可以看成環的表示。每個環有自然的在自己上的 R-模結構，其模作用定義為環中的乘法，所以通過模的進路更一般，能給出有用的信息。因此，我們經常通過研究環上的模範疇來研究環。

森田等價便採取這種觀點，自然地定義環等價如果它們的模範疇是等價的。

正式定義

兩個環 R 與 S 稱為森田等價如果 R 上的（左）模範疇 _RM 與 S 上的（左）模範疇 _SM 之間存在一個加性等價。

可以證明左模範疇等價若且唯若右模範疇是等價的。

等價可以刻畫為：如果 F:_RM $\to$ _SM 與 G:_SM $\to$ _RM 是加性（共變）函子，則 F 與 G 是等價的若且唯若存在一個平衡的 (S,R)-雙模 P 使得 _SP 與 P_R 是有限生成投射生成元與自然同構 $F\cong (P\otimes _{R}-)$ 與 $G\cong \operatorname {Hom} _{S}(P,-).$

等價保持的性質

模範疇中等價的對象保持許多性質。取環作為特例，我們有等價的環保持下列性質。如果 R 與 S 是等價的環，那麼 R

• 單
• 半單
• 諾特
• 阿廷
• 本原

若且唯若 S 滿足相應的性質。另外，我們有 Cen(R) 同構於 Cen(S)，這裏 Cen 表示環的中心，以及 R/J(R) 等價於 S/J(S)，這裏 J 表示雅各布森根。

但是，森田等價不是同構。可以找到不同構但為森田等價的兩個環，不過極其困難。森田等價蘊含同構的一個重要特例是交換環的情形。

例子

對任何 $n>0$，元素屬於 R 的全矩陣環 M_n(R) 等價於 R。注意這推廣了由阿廷-韋德伯恩定理給出的單阿廷環的分類。為了看出這個等價，注意到如果 $M$ 是一個左 R-模則 $M^{n}$ 是一個 $M_{n}(R)$-模，其模結構由將矩陣標準作用到向量上給出。這允許定義一個從左 R-模到左 $M_{n}(R)$-模範疇的函子。逆函子由實現定義：對任何左 $M_{n}(R)$-模存在一個左 R-模 V 以及一個正整數 n，使得這個 $M_{n}(R)$-模是由 V 通過上述方式得到的。

等價的判據

對任何從左 R-模範疇到左 S-模範疇的與直和交換的右正合函子 F，同調代數的一個定理指出存在一個 (S,R)-雙模 E 使得 F 自然等價於 $E\otimes _{R}-$。這意味着如果 R 與 S 森田等價等且僅當存在雙模 M 與 N 使得 $M\otimes N\cong R$ 以及 $N\otimes M\cong S$。此外，$N\cong \operatorname {Hom} (M,S)$。

進一步的說明

與等價理論相對的是模範疇之間的對偶性理論，這時函子是反變的而不是共變的。這個理論，雖然形式上類似，但是卻顯著的不同，因為沒有在任何環上的模範疇之間的對偶性，儘管可能對子範疇有對偶性存在。換句話說，因為無限維模一般不是自反的，對偶性理論更容易應用到諾特環上有限生成代數。也許不奇怪，上面的判據關於對偶性有一個類比，此時自然同構由 Hom 函子而不是張量函子給出。

森田等價也能對更複雜的結構定義，比如辛群胚與 C*-代數。在 C*-代數情形，需要一種更強的等價關係，稱為強森田等價，因為額外的結構得到的結果在應用中非常有用。

在 K-理論中的重要性

如果兩個環是森田等價的，則在相應的投射模範疇有一個誘導等價，這是因為森田等價保持正合序列（從而保持投射模）。因為一個環的代數 K-理論用環上的投射模範疇的神經的分類空間的同倫群定義（Quillen 進路），森田等價的環一定有同構的 K-群。

參考文獻

• F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2 nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3

• Meyer, Ralf: Morita Equivalence In Algebra And Geometry, http://citeseer.ist.psu.edu/meyer97morita.html