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數學裡,尤其是在群論理論、同調代數微分幾何等數學領域中,正合序列(或釋作正合列恰當序列)是指一個由對象及其間的態射所組成的序列,該序列中的每一個態射的都恰好是其下一個態射的。正合序列可以為有限序列或無限序列。

正合序列於同調代數中居於核心地位,其中特別重要的一類是短正合序列

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定義编辑

群論裡,一個由群同態所組成的序列

 

稱之為正合序列,若且唯若該序列中的每一個同態的均等於其下一個同態的

 

上述的正合序列可以為有限序列,亦或是無限序列。

在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義,如將群與群同態替換成向量空間線性映射,或是模同態,也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說,任何一個具有上核範疇裡都能形成正合序列的概念。

簡單例子编辑

下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以當然群作為開頭或結束,一般會將此一當然群標記為0(表示加法運算,一般用於序列內的群為阿貝爾群時),或標記為1(表示乘法運算)。

  • 序列0 → AB 為正合序列,若且唯若從AB 的映射,其核為{0},亦即若且唯若該映射為單射
  • 在對偶時,序列BC → 0 為正合序列,若且唯若從BC 的映射,其像為整個C,亦即若且唯若該映射為滿射
  • 因此,序列0 → XY → 0 為正合序列,若且唯若從XY 的映射同時為單射及滿射(即為雙射),並因此在大多數狀況下,該映射為從XY同構

短正合序列编辑

短正合序列為具有下列形式的正合序列

 

如上所述,對任何一個短正合序列,f 一定為單射,且g 一定為滿射,且f 的像會等於g 的核。因此,可導出一同構

 

若以下任一等價(依據分裂引理)條件成立,則稱短正合序列  分裂

  •  截面(即存在 使得 
  •  縮回(即存在 使得 
  • 該短正合序列同構(在鏈複形的意義下)於
 
其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇,前兩個條件不一定蘊含第三個,它們只能保證 可以表為  半直積;例如我們可考慮群同態

 

其中 是3次對稱群  給出,它的像是交代群 ,商為 ;但 無法分解成 

將正合序列拆解為短正合序列编辑

正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列,構造方式如下:考慮一正合序列

 

 

其中 ,這就給出了一個短正合序列

 

一般而言,設 鏈複形,我們同樣定義 ;此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈 的正合性。

推廣编辑

給定一個短正合序列

 

有時也稱  經由 擴張

詳閱條目Ext函子群上同調

長正合序列编辑

若有鏈複形的短正合序列:

 

反覆運用蛇引理,可以導出正合序列

 

對上鏈複形的上同調亦同,此時連接同態的方向是 。這類序列稱作長正合序列,它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中,長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見编辑