雙曲函數恆等式

數學中,雙曲函數恆等式是對出現的變量的所有值都為的涉及到雙曲函數的等式。這些恆等式在表達式中有些雙曲函數需要簡化的時候是很有用的。雙曲函數的恆等式有的與三角恆等式類似。就如同三角函數,他有一個重要應用是非雙曲函數的積分:一個常用技巧是首先使用換元積分法,規則與使用三角函數的代換規則類似,則通過雙曲函數恆等式可簡化結果的積分。

雙曲扇形a的很多雙曲函數可以在幾何上依據以O為中心的雙曲線來構造。

符號

編輯
函數 倒數函數
全寫 簡寫 全寫 簡寫
函數 hyperbolic sine sinh hyperbolic cosecant csch
反函數 inverse hyperbolic sine arcsinh inverse hyperbolic cosecant arccsch
函數 hyperbolic cosine cosh hyperbolic secant sech
反函數 inverse hyperbolic cosine arccosh inverse hyperbolic secant arcsech
函數 hyperbolic tangent tanh hyperbolic cotangent coth
反函數 inverse hyperbolic tangent arctanh inverse hyperbolic cotangent arccoth

基本關係

編輯
 
sinh, coshtanh
 
csch, sechcoth

雙曲函數基本恆等式如下:

 
 
 
 
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

就如同三角函數,由上面的平方關係加上雙曲函數的基本定義,可以導出下面的表格,即每個雙曲函數都可以用其他五個表達。(嚴謹地說,所有根號前都應根據實際情況添加正負號)

函數 sinh cosh tanh coth sech csch
             
             
             
             
             
             

其他函數的基本關係

編輯

三角函數還有正矢餘矢半正矢半餘矢外正割外餘割等函數,利用他們的定義也可以導出雙曲函數

名稱 函數
雙曲正矢, hyperbolic versine  
 
 
雙曲餘矢, hyperbolic coversine  
 
 
雙曲半正矢 , hyperbolic haversine    
雙曲半餘矢 , hyperbolic hacoversine    
雙曲外正割 , hyperbolic exsecant    
雙曲外餘割 , hyperbolic excosecant    

和角公式

編輯
 
 
 
 
 
 

和差化積公式

編輯
 
 
 
 
 
 

積化和差公式

編輯
 
 
 

倍角公式

編輯
  • 二倍角公式:
 
 
 
  • 三倍角公式:
 
 

半形公式

編輯
 
 
 

冪簡約公式

編輯
 
 
 

雙曲正切半形公式

編輯
 
 
 

泰勒展開式

編輯
 
 
 
  (羅朗級數)
 
  (羅朗級數)

其中

  是第n項 伯努利數
  是第n項 歐拉數

三角函數與雙曲函數的恆等式

編輯

利用三角恆等式的指數定義雙曲函數的指數定義英語Hyperbolic_function#Hyperbolic_functions_for_complex_numbers即可求出下列恆等式:

 

 

所以

 

 

下表列出部分的三角函數雙曲函數恆等式:

三角函數 雙曲函數
   
   
   
   
   
   
  • 其他恆等式:
 
 
 
 
 
 
 
 

參見

編輯

參考文獻

編輯