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射線出原點交單位雙曲線於點,這裡的是射線、雙曲線和軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點,這個面積被認為是負值。

数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数(也叫圆函数)类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 双曲余弦函数 ,从它们可以导出双曲正切函数 等,其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数

双曲函数的定义域是实数,其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中,譬如說定义悬链线拉普拉斯方程

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基本定义编辑

 
sinh, coshtanh
 
csch, sechcoth
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函数 是关于y轴对称的偶函数。函数 奇函数

如同当 遍历实数集 时,点( ,  )的轨迹是一个 一样,当 遍历实数集 时,点( ,  )的轨迹是單位雙曲線英语Unit hyperbola 的右半边。这是因为有以下的恒等式:

 

参数t不是圆而是双曲角,它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点( ,  )的直线之间的面积的两倍。

歷史编辑

 
直角雙曲線(方程y = 1/x)下,雙曲線三角形(黃色),和對應於雙曲角u雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中cosh和sinh的√2倍。

在18世紀,約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數[1],並計算了雙曲幾何雙曲三角形的面積[2]自然對數函數是在直角雙曲線 下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線 上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數,即要形成指定雙曲角u,在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是 ,垂線是 

通過旋轉和縮小線性變換,得到單位雙曲線下的情況,有:

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單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線 下雙曲角的 1/2。

虛數圓角定義编辑

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上,如果x是實數而i2 = −1,則

   

所以雙曲函數cosh和sinh可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的,它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是,可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成,前者形成cosh函數,後者形成了sinh函數。cos函數的無窮級數可從cosh得出,通過把它變為交錯級數,而sin函數可來自將sinh變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i,從三角函數的級數的項中去掉交錯因子(−1)n,來恢復為指數函數的那兩部份級數。

 
 

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為:

 
 
 
 
 
 

這些複數形式的定義得出自歐拉公式

與三角函數的類比编辑

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線[3]威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線

   

給定相同的角α,在雙曲線上計算雙曲角的量值(雙曲扇形面積除以半徑)得到雙曲函數,角α得到三角函數。在單位圓單位雙曲線上,双曲函数与三角函数有如下的关係:

恆等式编辑

与双曲函数有关的恆等式如下:

 
  • 加法公式:
 
 
 
  • 二倍角公式:
 
 
  • 半角公式:
 
 

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系,雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式,只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數,并将含有有兩個sinh的積的项(包括 )轉換正負號,就可得到相應的雙曲函數恆等式[4]。如

  • 三倍角公式:
三角函数的三倍角公式为:
 
 
而对应的双曲函数三倍角公式则是:
 
 
  • 差角公式:
三角函数的差角公式为: 
而对应的双曲函数的差角公式则是: 

双曲函数的導數编辑

 
 
 

双曲函数的泰勒展開式编辑

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

 
 
 
 罗朗级数
 
 罗朗级数

其中

 是第n項伯努利數
 是第n項欧拉數

双曲函数的积分编辑

 
 
 
 
 
 

與指數函數的關係编辑

從雙曲正弦和餘弦的定義,可以得出如下恆等式:

 

 

複數的雙曲函數编辑

因為指數函數可以定義為任何複數參數,也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數sinh z和cosh z全純函數

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出:

 

所以:

 
 
 

因此,雙曲函數是關於虛部有週期的,週期為  (對雙曲正切和餘切是 ).

反双曲函数编辑

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为:

 

参考文献编辑

  1. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions. 
  2. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006, ISBN 9780387331973, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786. 
  3. ^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"
  4. ^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902

参见编辑