數論中,合數(也稱為合成數)是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數[1][2]。依照定義,每一個大於1的整數若不是質數,就會是合數[3][4]。而1則被認為不是質數,也不是合數。

古氏積木排列出合數10的因數
合數(右側紅色部份)可以用長寬都不是1的長方形來表示,但質數(左側藍色部份)只能用其中一邊長是1的長方形表示

例如,整數14是一個合數,因為它可以被分解成。而整數2無法再找到本身和1以外的正因數,因此不是合數。

起初120個合數為: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等(OEIS數列A002808)。

每一個合數都可以寫成二個或多個質數(不一定是相異質數)的乘積[2]。例如,合數299可以寫成13 × 23,合數360可以寫成23 × 32 × 5,而且若將質因數依大小排列後,此表示法是唯一的。這是算術基本定理[5][6][7][8]

有許多的素性測試可以在不進行因數分解的情形下,判斷一數字是質數還是合數。

性質

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  • 所有大於2的偶數都是合數,也就是在正整數中除了2以外,其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。
  • 每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。(算術基本定理
  • 所有合數都有至少3個正因數,例如4有正因數1、2、4,6有正因數1、2、3、6。
  • 對任一大於5的合數  。(威爾遜定理
  • 對於任意的正整數 ,都可以找到一個正整數 ,使得   、…、 都是合數。

合數的類型

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100以內的過剩數本原過剩數高過剩數超過剩數可羅薩里過剩數高合成數superior highly composite number英語superior highly composite奇異數完全數歐拉圖,以及和虧數合數的關係

分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為半質數,有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中,亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者,

 

(其中μ為默比烏斯函數 為質因數個數的一半),而前者則為

 

注意,對於質數,此函數會傳回-1,且 。而對於有一個或多個重複質因數的數字  

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數 平方,其正因數有 。一數若有着比它小的整數都還多的正因數,則稱此數為高合成數。另外,完全平方數的正因數個數為奇數個,而其他的合數則皆為偶數個。

還有一種將合數分類的方式,是檢查其質因數是否都比特定數字大,或是比特定數字小。這些會稱為光滑數粗糙數

腳註

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  1. ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970,第23–24頁)
  2. ^ 2.0 2.1 Long (1972,第16頁)
  3. ^ Fraleigh (1976,第198,266頁)
  4. ^ Herstein (1964,第106頁)
  5. ^ Fraleigh (1976,第270頁)
  6. ^ Long (1972,第44頁)
  7. ^ McCoy (1968,第85頁)
  8. ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970,第53頁)

參考文獻

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  • Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1 
  • Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016 
  • Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950 
  • McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225 
  • Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766 

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