晶系

空間群、格、點群、晶體的分類

晶體通常可分為七種晶系,即立方晶系六方晶系四方晶系三方晶系正交晶系單斜晶系三斜晶系。其中的立方晶系具有各向同性,屬於高級晶族

單斜晶系藍鐵礦
正交晶系鐵橄欖石
四方晶系銳鈦礦
三方晶系赤鐵礦
六方晶系綠柱石
立方晶系錳鋁榴石
最常見的金屬晶系

晶系的特徵

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晶系的特徵與細分關係如下表:

晶族 晶系 點群的對稱性 點群 空間群 布拉菲晶格 特徵 晶格系統
三斜 2 2 1 α≠β≠γ≠90°,a≠b≠c 三斜
單斜 1個兩次對稱軸 或 1個對稱面 3 13 2 α=γ=90°,β≠90°,a≠b≠c 單斜
正交/斜方 3個兩次對稱軸 或 1個兩次對稱軸+2個對稱面 3 59 4 α=β=γ=90°,a≠b≠c 正交/斜方
四方/正方 1個四次對稱軸 7 68 2 α=β=γ=90°,a=b≠c 四方/正方
六方 三方 1個三次對稱軸 5 7 1 α=β=γ≠90°,a=b=c 三方
18 1 α=β=90°,γ=120°,a=b≠c 六方
六方 1個六次對稱軸 7 27
立方/等軸 4個三次對稱軸 5 36 3 α=β=γ=90°,a=b=c 立方/等軸
6 7 共計 32 230 14 7


布拉菲晶格

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這14種布拉菲晶格可分成7種晶系,每種晶系又可依中心原子在晶胞中的位置不同再分成6種晶格:

  • 簡單(P):晶格點只在晶格的八個頂點處
  • 體心(I):除八個頂點處有晶格點外,晶胞中心還有一個晶格點
  • 面心(F):除八個頂點處有晶格點外,在六個面的中央還有一個晶格點
  • 底心(A,B或C):除八個頂點處有晶格點外,在晶胞的一組平行面(A,B或C)的每個面中央還有一個晶格點

7種不同晶系與每種晶系的6種不同晶格共有7 × 6 = 42種組合,但是有些組合其實是相同的,都能組成14種布拉菲晶格。例如,單斜晶系的體心晶格可以通過單斜晶系的底心(C)晶格選擇不同的晶軸得到,所以這兩種其實是同一種;同樣,所有的底心(A)、底心(B)晶格都相當於底心(C)或簡單(P)晶格。因此,去除相同的組合,可以得到14種不同的布拉菲晶格,列於下表(晶格圖下方是代表該布拉菲晶格的皮爾遜符號,表中空白的格表示於已有的晶格重複):

晶系 點陣常數特徵 布拉菲晶格
簡單(P) 底心(C) 體心(I) 面心(F)
三斜晶系 a≠b≠c,α≠β≠γ≠90°  
單斜晶系 a≠b≠c,α=γ=90°≠β    
斜方晶系
(正交晶系)
a≠b≠c,α=β=γ=90°        
四方晶系 a=b≠c,α=β=γ=90°    
三方晶系
(棱方晶系)
a=b=c,α=β=γ≠90°  
六方晶系 a=b≠c,α=β=90º,γ=120°  
等軸晶系

(立方晶系)
a=b=c,α=β=γ=90°      

每一個單位晶格的體積可以由 計算得知。其中 ,和 是晶格向量。各種布拉菲晶格的體積如下:

晶系 體積
三斜晶系  
單斜晶系  
斜方晶系  
四方晶系  
三方晶系  
六方晶系  
等軸晶系  

晶體學點群

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熊夫利記號

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熊夫利中,點群是用字母符號加上數字下標表示的。下面簡述晶體學中使用的這種符號的意義[1]

  • Cn循環群)表示該群有一根n次旋轉軸。CnhCn加上一個與旋轉軸垂直的鏡面(反映)對稱元素。Cnv則是Cn加上n個與旋轉軸平行的鏡面對稱元素。
  • S2n(源自德語Spiegel,意思是鏡面)表示一根只含有2n旋轉反映軸(簡稱映軸)。
  • Dn二面體群)表示這個群只有一根n次旋轉軸和n根垂直於這根主軸的二重軸。Dnh是加上一個與n次旋轉軸垂直的鏡面。Dnd則是Dn是加上n個與n次旋轉軸平行的鏡面。
  • 字母T四面體)表示這個群有四面體的對稱性。Td則包括了旋轉反映操作,T群本身則不包含旋轉反映操作,Th則是T群加上與旋轉軸垂直的鏡面。
  • 字母O八面體)表示該群具有八面體或者立方體的對稱性,可能包括(Oh)或不包括(O)旋轉反映操作。

根據晶體局限定理,在二維或三維空間中n的取值只有1、2、3、4和6。

n 1 2 3 4 6
Cn C1 C2 C3 C4 C6
Cnv C1v=C1h C2v C3v C4v C6v
Cnh C1h C2h C3h C4h C6h
Dn D1=C2 D2 D3 D4 D6
Dnh D1h=C2v D2h D3h D4h D6h
Dnd D1d=C2h D2d D3d D4d D6d
S2n S2 S4 S6 S8 S12

D4dD6d實際上是不存在的,因為它們分別包含了n=8和12的旋轉反映軸。表格中剩下的27種點群與TTdThOOh共同組成32種晶體學點群。

赫爾曼–莫甘記號

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赫爾曼–莫甘記號的一種簡略形式廣泛用於表示空間群,也用於描述晶體學點群。群的名稱列在下表中;點群間相互之關係可見右圖。

1 1
2 2m 222 m mm2 mmm
3 3 32 3m 3m
4 4 4m 422 4mm 42m 4mmm
6 6 6m 622 6mm 62m 6mmm
23 m3 432 43m m3m

不同記號關係

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晶族 晶系 赫爾曼–莫甘
(完整記號)
赫爾曼–莫甘
(簡寫記號)
舒勃尼科夫[2] 熊夫利 軌形記號 考克斯特記號
三斜
1 1   C1 11 [ ]+ 1
1 1   Ci = S2 x [2+,2+] 2
單斜
2 2   C2 22 [2]+ 2
m m   Cs = C1h * [ ] 2
  2/m   C2h 2* [2,2+] 4
正交
222 222   D2 = V 222 [2,2]+ 4
mm2 mm2   C2v *22 [2] 4
  mmm   D2h *222 [2,2] 8
四方
4 4   C4 44 [4]+ 4
4 4   S4 2x [2+,4+] 4
  4/m   C4h 4* [2,4+] 8
422 422   D4 422 [4,2]+ 8
4mm 4mm   C4v *44 [4] 8
42m 42m   D2d 2*2 [2+,4] 8
  4/mmm   D4h *422 [4,2] 16
六方
三方
3 3   C3 33 [3]+ 3
3 3   S6 = C3i 3x [2+,6+] 6
32 32   D3 322 [3,2]+ 6
3m 3m   C3v *33 [3] 6
3  3m   D3d 2*3 [2+,6] 12
六方
6 6   C6 66 [6]+ 6
6 6   C3h 3* [2,3+] 6
  6/m   C6h 6* [2,6+] 12
622 622   D6 622 [6,2]+ 12
6mm 6mm   C6v *66 [6] 12
6m2 6m2   D3h *322 [3,2] 12
  6/mmm   D6h *622 [6,2] 24
立方
23 23   T 332 [3,3]+ 12
 3 m3   Th 3*2 [3+,4] 24
432 432   O 432 [4,3]+ 24
43m 43m   Td *332 [3,3] 24
 3  m3m   Oh *432 [4,3] 48

其它維度

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二維

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二維空間具有相同數量的晶系、晶族和晶格。在二維空間有四種晶系:斜晶系、矩晶系、方晶系、六方晶系。

四維

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‌四維晶胞由四個邊長(a、b、c、d)和六個軸間角(α、β、γ、δ、ε、ζ)定義。以下晶格參數條件定義了23種晶系。

四維晶系
No. 晶系(1985年Whittaker命名[3] 邊長 軸間角
1 Hexaclinic abcd αβγδεζ ≠ 90°
2 Triclinic abcd αβγ ≠ 90°
δ = ε = ζ = 90°
3 Diclinic abcd α ≠ 90°
β = γ = δ = ε = 90°
ζ ≠ 90°
4 Monoclinic abcd α ≠ 90°
β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5 Orthogonal abcd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6 Tetragonal monoclinic ab = cd α ≠ 90°
β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7 Hexagonal monoclinic ab = cd α ≠ 90°
β = γ = δ = ε = 90°
ζ = 120°
8 Ditetragonal diclinic a = db = c α = ζ = 90°
β = ε ≠ 90°
γ ≠ 90°
δ = 180° − γ
9 Ditrigonal (dihexagonal) diclinic a = db = c α = ζ = 120°
β = ε ≠ 90°
γδ ≠ 90°
cos δ = cos β − cos γ
10 Tetragonal orthogonal ab = cd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11 Hexagonal orthogonal ab = cd α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°
12 Ditetragonal monoclinic a = db = c α = γ = δ = ζ = 90°
β = ε ≠ 90°
13 Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic a = db = c α = ζ = 120°
β = ε ≠ 90°
γ = δ ≠ 90°
cos γ = −1/2cos β
14 Ditetragonal orthogonal a = db = c α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15 Hexagonal tetragonal a = db = c α = β = γ = δ = ε = 90°
ζ = 120°
16 Dihexagonal orthogonal a = db = c α = ζ = 120°
β = γ = δ = ε = 90°
17 Cubic orthogonal a = b = cd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18 Octagonal a = b = c = d α = γ = ζ ≠ 90°
β = ε = 90°
δ = 180° − α
19 Decagonal a = b = c = d α = γ = ζβ = δ = ε
cos β = −1/2 − cos α
20 Dodecagonal a = b = c = d α = ζ = 90°
β = ε = 120°
γ = δ ≠ 90°
21 Diisohexagonal orthogonal a = b = c = d α = ζ = 120°
β = γ = δ = ε = 90°
22 Icosagonal (icosahedral) a = b = c = d α = β = γ = δ = ε = ζ
cos α = −1/4
23 Hypercubic a = b = c = d α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

由1985年Whittaker命名[3]

名字幾乎與Brown等人[4]的命名相同,只有9、13、22名稱不同。括號是他們命的名。

四維晶族、晶系、晶格系之間的關係如下表所示。[3][4]

已隱藏部分未翻譯內容,歡迎參與翻譯
Enantiomorphic systems are marked with an asterisk. The number of enantiomorphic pairs is given in parentheses. Here the term "enantiomorphic" has a different meaning than in the table for three-dimensional crystal classes. The latter means, that enantiomorphic point groups describe chiral (enantiomorphic) structures. In the current table, "enantiomorphic" means that a group itself (considered as a geometric object) is enantiomorphic, like enantiomorphic pairs of three-dimensional space groups P31 and P32, P4122 and P4322. Starting from four-dimensional space, point groups also can be enantiomorphic in this sense.


四維晶體系統
晶族序 晶族(英文) 晶系(英文) 晶系序 點群 空間群 布拉菲晶格 晶格
I Hexaclinic 1 2 2 1 Hexaclinic P
II Triclinic 2 3 13 2 Triclinic P, S
III Diclinic 3 2 12 3 Diclinic P, S, D
IV Monoclinic 4 4 207 6 Monoclinic P, S, S, I, D, F
V Orthogonal Non-axial orthogonal 5 2 2 1 Orthogonal KU
112 8 Orthogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
Axial orthogonal 6 3 887
VI Tetragonal monoclinic 7 7 88 2 Tetragonal monoclinic P, I
VII Hexagonal monoclinic Trigonal monoclinic 8 5 9 1 Hexagonal monoclinic R
15 1 Hexagonal monoclinic P
Hexagonal monoclinic 9 7 25
VIII Ditetragonal diclinic* 10 1 (+1) 1 (+1) 1 (+1) Ditetragonal diclinic P*
IX Ditrigonal diclinic* 11 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) Ditrigonal diclinic P*
X Tetragonal orthogonal Inverse tetragonal orthogonal 12 5 7 1 Tetragonal orthogonal KG
351 5 Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G
Proper tetragonal orthogonal 13 10 1312
XI Hexagonal orthogonal Trigonal orthogonal 14 10 81 2 Hexagonal orthogonal R, RS
150 2 Hexagonal orthogonal P, S
Hexagonal orthogonal 15 12 240
XII Ditetragonal monoclinic* 16 1 (+1) 6 (+6) 3 (+3) Ditetragonal monoclinic P*, S*, D*
XIII Ditrigonal monoclinic* 17 2 (+2) 5 (+5) 2 (+2) Ditrigonal monoclinic P*, RR*
XIV Ditetragonal orthogonal Crypto-ditetragonal orthogonal 18 5 10 1 Ditetragonal orthogonal D
165 (+2) 2 Ditetragonal orthogonal P, Z
Ditetragonal orthogonal 19 6 127
XV Hexagonal tetragonal 20 22 108 1 Hexagonal tetragonal P
XVI Dihexagonal orthogonal Crypto-ditrigonal orthogonal* 21 4 (+4) 5 (+5) 1 (+1) Dihexagonal orthogonal G*
5 (+5) 1 Dihexagonal orthogonal P
Dihexagonal orthogonal 23 11 20
Ditrigonal orthogonal 22 11 41
16 1 Dihexagonal orthogonal RR
XVII Cubic orthogonal Simple cubic orthogonal 24 5 9 1 Cubic orthogonal KU
96 5 Cubic orthogonal P, I, Z, F, U
Complex cubic orthogonal 25 11 366
XVIII Octagonal* 26 2 (+2) 3 (+3) 1 (+1) Octagonal P*
XIX Decagonal 27 4 5 1 Decagonal P
XX Dodecagonal* 28 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) Dodecagonal P*
XXI Diisohexagonal orthogonal Simple diisohexagonal orthogonal 29 9 (+2) 19 (+5) 1 Diisohexagonal orthogonal RR
19 (+3) 1 Diisohexagonal orthogonal P
Complex diisohexagonal orthogonal 30 13 (+8) 15 (+9)
XXII Icosagonal 31 7 20 2 Icosagonal P, SN
XXIII Hypercubic Octagonal hypercubic 32 21 (+8) 73 (+15) 1 Hypercubic P
107 (+28) 1 Hypercubic Z
Dodecagonal hypercubic 33 16 (+12) 25 (+20)
共計 23 (+6) 33 (+7) 227 (+44) 4783 (+111) 64 (+10) 33 (+7)


參見

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參考資料

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  • Cornelis Klein, Barbara Dutrow, 2007. Manual of Mineral Science, 23rd Edition
  1. ^ (簡體中文)麥松威、周公度、李偉基. 高等无机结构化学 第二版. 北京: 北京大學出版社. 2006. ISBN 9787301047934. 
  2. ^ (英文) 存档副本. [2011-11-25]. (原始內容存檔於2013-07-04). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Whittaker, E. J. W. An Atlas of Hyperstereograms of the Four-Dimensional Crystal Classes. 牛津: 牛津大學出版社. 1985. ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498. 
  4. ^ 4.0 4.1 Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. 紐約: Wiley. 1978. ISBN 978-0-471-03095-9. OCLC 939898594. 

外部連結

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