晶系

晶體通常可分為七種晶系，即立方晶系、六方晶系、四方晶系、三方晶系、正交晶系、單斜晶系、三斜晶系。其中的立方晶系具有各向同性，屬於高級晶族。

晶系的特徵

晶系的特徵與細分關係如下表:

晶族	晶系	點群的對稱性	點群	空間群	布拉菲晶格	特徵	晶格系統
三斜		無	2	2	1	α≠β≠γ≠90°，a≠b≠c	三斜
單斜		1個兩次對稱軸或 1個對稱面	3	13	2	α=γ=90°，β≠90°，a≠b≠c	單斜
正交/斜方		3個兩次對稱軸或 1個兩次對稱軸+2個對稱面	3	59	4	α=β=γ=90°，a≠b≠c	正交/斜方
四方/正方		1個四次對稱軸	7	68	2	α=β=γ=90°，a=b≠c	四方/正方
六方	三方	1個三次對稱軸	5	7	1	α=β=γ≠90°，a=b=c	三方
	三方	1個三次對稱軸	5	18	1	α=β=90°，γ=120°，a=b≠c	六方
	六方	1個六次對稱軸	7	27	1	α=β=90°，γ=120°，a=b≠c	六方
立方/等軸		4個三次對稱軸	5	36	3	α=β=γ=90°，a=b=c	立方/等軸
6	7	共計	32	230	14		7

布拉菲晶格

這14種布拉菲晶格可分成7種晶系，每種晶系又可依中心原子在晶胞中的位置不同再分成6種晶格：

簡單（P）：晶格點只在晶格的八個頂點處
體心（I）：除八個頂點處有晶格點外，晶胞中心還有一個晶格點
面心（F）：除八個頂點處有晶格點外，在六個面的中央還有一個晶格點
底心（A，B或C）：除八個頂點處有晶格點外，在晶胞的一組平行面（A，B或C）的每個面中央還有一個晶格點

7種不同晶系與每種晶系的6種不同晶格共有7 × 6 = 42種組合，但是有些組合其實是相同的，都能組成14種布拉菲晶格。例如，單斜晶系的體心晶格可以通過單斜晶系的底心（C）晶格選擇不同的晶軸得到，所以這兩種其實是同一種；同樣，所有的底心（A）、底心（B）晶格都相當於底心（C）或簡單（P）晶格。因此，去除相同的組合，可以得到14種不同的布拉菲晶格，列於下表（晶格圖下方是代表該布拉菲晶格的皮爾遜符號，表中空白的格表示於已有的晶格重複）：

晶系	點陣常數特徵	布拉菲晶格
晶系	點陣常數特徵	簡單（P）	底心（C）	體心（I）	面心（F）
三斜晶系	a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°
單斜晶系	a≠b≠c，α=γ=90°≠β
斜方晶系（正交晶系）	a≠b≠c，α=β=γ=90°
四方晶系	a=b≠c，α=β=γ=90°
三方晶系（棱方晶系）	a=b=c，α=β=γ≠90°
六方晶系	a=b≠c，α=β=90º，γ=120°
等軸晶系（立方晶系）	a=b=c，α=β=γ=90°

每一個單位晶格的體積可以由 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 計算得知。其中 $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ ,和 $\mathbf {c}$ 是晶格向量。各種布拉菲晶格的體積如下：

晶系	體積
三斜晶系	$abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$
單斜晶系	$abc\sin \alpha$
斜方晶系	$abc$
四方晶系	$a^{2}c$
三方晶系	$a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}$
六方晶系	${\frac {{\sqrt {3\,}}\,a^{2}c}{2}}$
等軸晶系	$a^{3}$

晶體學點群

熊夫利記號

在熊夫利中，點群是用字母符號加上數字下標表示的。下面簡述晶體學中使用的這種符號的意義^[1]：

C_n（循環群）表示該群有一根n次旋轉軸。C_nh是C_n加上一個與旋轉軸垂直的鏡面（反映）對稱元素。C_nv則是C_n加上n個與旋轉軸平行的鏡面對稱元素。
S_2n（源自德語Spiegel，意思是鏡面）表示一根只含有2n次旋轉反映軸（簡稱映軸）。
D_n（二面體群）表示這個群只有一根n次旋轉軸和n根垂直於這根主軸的二重軸。D_nh是加上一個與n次旋轉軸垂直的鏡面。D_nd則是D_n是加上n個與n次旋轉軸平行的鏡面。
字母T（四面體）表示這個群有四面體的對稱性。T_d則包括了旋轉反映操作，T群本身則不包含旋轉反映操作，T_h則是T群加上與旋轉軸垂直的鏡面。
字母O（八面體）表示該群具有八面體或者立方體的對稱性，可能包括（O_h）或不包括（O）旋轉反映操作。

根據晶體局限定理，在二維或三維空間中n的取值只有1、2、3、4和6。

n	1	2	3	4	6
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₆
C_nv	C_1v=C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_6v
C_nh	C_1h	C_2h	C_3h	C_4h	C_6h
D_n	D₁=C₂	D₂	D₃	D₄	D₆
D_nh	D_1h=C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_6h
D_nd	D_1d=C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_6d
S_2n	S₂	S₄	S₆	S₈	S₁₂

D_4d和D_6d實際上是不存在的，因為它們分別包含了n=8和12的旋轉反映軸。表格中剩下的27種點群與T、T_d、T_h、O和O_h共同組成32種晶體學點群。

赫爾曼–莫甘記號

赫爾曼–莫甘記號的一種簡略形式廣泛用於表示空間群，也用於描述晶體學點群。群的名稱列在下表中；點群間相互之關係可見右圖。

1	1
2		²⁄_m	222	m	mm2	mmm
3	3		32	3m	3m
4	4	⁴⁄_m	422	4mm	42m	⁴⁄_mmm
6	6	⁶⁄_m	622	6mm	62m	⁶⁄_mmm
23	m3	432	43m	m3m

不同記號關係

晶族	晶系	赫爾曼–莫甘（完整記號）	赫爾曼–莫甘（簡寫記號）	舒勃尼科夫^[2]	熊夫利	軌形記號	考克斯特記號	階
三斜		1	1	$1\$	C₁	11	[ ]⁺	1
三斜		1	1	${\tilde {2}}$	C_i = S₂	x	[2⁺,2⁺]	2
單斜		2	2	$2\$	C₂	22	[2]⁺	2
		m	m	$m\$	C_s = C_1h	*	[ ]	2
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C_2h	2*	[2,2⁺]	4
正交		222	222	$2:2\$	D₂ = V	222	[2,2]⁺	4
		mm2	mm2	$2\cdot m\$	C_2v	*22	[2]	4
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	mmm	$m\cdot 2:m\$	D_2h	*222	[2,2]	8
四方		4	4	$4\$	C₄	44	[4]⁺	4
		4	4	${\tilde {4}}$	S₄	2x	[2⁺,4⁺]	4
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C_4h	4*	[2,4⁺]	8
		422	422	$4:2\$	D₄	422	[4,2]⁺	8
		4mm	4mm	$4\cdot m\$	C_4v	*44	[4]	8
		42m	42m	${\tilde {4}}\cdot m$	D_2d	2*2	[2⁺,4]	8
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mmm	$m\cdot 4:m\$	D_4h	*422	[4,2]	16
六方	三方	3	3	$3\$	C₃	33	[3]⁺	3
		3	3	${\tilde {6}}$	S₆ = C_3i	3x	[2⁺,6⁺]	6
		32	32	$3:2\$	D₃	322	[3,2]⁺	6
		3m	3m	$3\cdot m\$	C_3v	*33	[3]	6
		3 $\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	3m	${\tilde {6}}\cdot m$	D_3d	2*3	[2⁺,6]	12
	六方	6	6	$6\$	C₆	66	[6]⁺	6
		6	6	$3:m\$	C_3h	3*	[2,3⁺]	6
		$\color {Black}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C_6h	6*	[2,6⁺]	12
		622	622	$6:2\$	D₆	622	[6,2]⁺	12
		6mm	6mm	$6\cdot m\$	C_6v	*66	[6]	12
		6m2	6m2	$m\cdot 3:m\$	D_3h	*322	[3,2]	12
		$\color {Black}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mmm	$m\cdot 6:m\$	D_6h	*622	[6,2]	24
立方		23	23	$3/2\$	T	332	[3,3]⁺	12
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m3	${\tilde {6}}/2$	T_h	3*2	[3⁺,4]	24
		432	432	$3/4\$	O	432	[4,3]⁺	24
		43m	43m	$3/{\tilde {4}}$	T_d	*332	[3,3]	24
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	m3m	${\tilde {6}}/4$	O_h	*432	[4,3]	48

其它維度

二維

二維空間具有相同數量的晶系、晶族和晶格。在二維空間有四種晶系：斜晶系、矩晶系、方晶系、六方晶系。

四維

‌四維晶胞由四個邊長（a、b、c、d）和六個軸間角（α、β、γ、δ、ε、ζ）定義。以下晶格參數條件定義了23種晶系。

四維晶系
No.	晶系（1985年Whittaker命名^[3]）	邊長	軸間角
1	Hexaclinic	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°
2	Triclinic	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ 90° δ = ε = ζ = 90°
3	Diclinic	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ ≠ 90°
4	Monoclinic	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5	Orthogonal	a ≠ b ≠ c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6	Tetragonal monoclinic	a ≠ b = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7	Hexagonal monoclinic	a ≠ b = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
8	Ditetragonal diclinic	a = d ≠ b = c	α = ζ = 90° β = ε ≠ 90° γ ≠ 90° δ = 180° − γ
9	Ditrigonal (dihexagonal) diclinic	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ ≠ δ ≠ 90° cos δ = cos β − cos γ
10	Tetragonal orthogonal	a ≠ b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11	Hexagonal orthogonal	a ≠ b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°
12	Ditetragonal monoclinic	a = d ≠ b = c	α = γ = δ = ζ = 90° β = ε ≠ 90°
13	Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ = δ ≠ 90° cos γ = −1/2cos β
14	Ditetragonal orthogonal	a = d ≠ b = c	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15	Hexagonal tetragonal	a = d ≠ b = c	α = β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
16	Dihexagonal orthogonal	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
17	Cubic orthogonal	a = b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18	Octagonal	a = b = c = d	α = γ = ζ ≠ 90° β = ε = 90° δ = 180° − α
19	Decagonal	a = b = c = d	α = γ = ζ ≠ β = δ = ε cos β = −1/2 − cos α
20	Dodecagonal	a = b = c = d	α = ζ = 90° β = ε = 120° γ = δ ≠ 90°
21	Diisohexagonal orthogonal	a = b = c = d	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
22	Icosagonal (icosahedral)	a = b = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ cos α = −1/4
23	Hypercubic	a = b = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

由1985年Whittaker命名^[3]。

名字幾乎與Brown等人^[4]的命名相同，只有9、13、22名稱不同。括號是他們命的名。

四維晶族、晶系、晶格系之間的關係如下表所示。^[3]^[4]

已隱藏部分未翻譯內容，歡迎參與翻譯。

Enantiomorphic systems are marked with an asterisk. The number of enantiomorphic pairs is given in parentheses. Here the term "enantiomorphic" has a different meaning than in the table for three-dimensional crystal classes. The latter means, that enantiomorphic point groups describe chiral (enantiomorphic) structures. In the current table, "enantiomorphic" means that a group itself (considered as a geometric object) is enantiomorphic, like enantiomorphic pairs of three-dimensional space groups P3₁ and P3₂, P4₁22 and P4₃22. Starting from four-dimensional space, point groups also can be enantiomorphic in this sense.

四維晶體系統
晶族序	晶族（英文）	晶系（英文）	晶系序	點群	空間群	布拉菲晶格	晶格
I	Hexaclinic		1	2	2	1	Hexaclinic P
II	Triclinic		2	3	13	2	Triclinic P, S
III	Diclinic		3	2	12	3	Diclinic P, S, D
IV	Monoclinic		4	4	207	6	Monoclinic P, S, S, I, D, F
V	Orthogonal	Non-axial orthogonal	5	2	2	1	Orthogonal KU
		Non-axial orthogonal	5	2	112	8	Orthogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
		Axial orthogonal	6	3	887	8	Orthogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	Tetragonal monoclinic		7	7	88	2	Tetragonal monoclinic P, I
VII	Hexagonal monoclinic	Trigonal monoclinic	8	5	9	1	Hexagonal monoclinic R
		Trigonal monoclinic	8	5	15	1	Hexagonal monoclinic P
		Hexagonal monoclinic	9	7	25	1	Hexagonal monoclinic P
VIII	Ditetragonal diclinic*		10	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Ditetragonal diclinic P*
IX	Ditrigonal diclinic*		11	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Ditrigonal diclinic P*
X	Tetragonal orthogonal	Inverse tetragonal orthogonal	12	5	7	1	Tetragonal orthogonal KG
		Inverse tetragonal orthogonal	12	5	351	5	Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G
		Proper tetragonal orthogonal	13	10	1312	5	Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G
XI	Hexagonal orthogonal	Trigonal orthogonal	14	10	81	2	Hexagonal orthogonal R, RS
		Trigonal orthogonal	14	10	150	2	Hexagonal orthogonal P, S
		Hexagonal orthogonal	15	12	240	2	Hexagonal orthogonal P, S
XII	Ditetragonal monoclinic*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Ditetragonal monoclinic P, S, D*
XIII	Ditrigonal monoclinic*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Ditrigonal monoclinic P, RR
XIV	Ditetragonal orthogonal	Crypto-ditetragonal orthogonal	18	5	10	1	Ditetragonal orthogonal D
		Crypto-ditetragonal orthogonal	18	5	165 (+2)	2	Ditetragonal orthogonal P, Z
		Ditetragonal orthogonal	19	6	127	2	Ditetragonal orthogonal P, Z
XV	Hexagonal tetragonal		20	22	108	1	Hexagonal tetragonal P
XVI	Dihexagonal orthogonal	Crypto-ditrigonal orthogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Dihexagonal orthogonal G*
		Crypto-ditrigonal orthogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	1	Dihexagonal orthogonal P
		Dihexagonal orthogonal	23	11	20
		Ditrigonal orthogonal	22	11	41
		Ditrigonal orthogonal	22	11	16	1	Dihexagonal orthogonal RR
XVII	Cubic orthogonal	Simple cubic orthogonal	24	5	9	1	Cubic orthogonal KU
		Simple cubic orthogonal	24	5	96	5	Cubic orthogonal P, I, Z, F, U
		Complex cubic orthogonal	25	11	366	5	Cubic orthogonal P, I, Z, F, U
XVIII	Octagonal*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Octagonal P*
XIX	Decagonal		27	4	5	1	Decagonal P
XX	Dodecagonal*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Dodecagonal P*
XXI	Diisohexagonal orthogonal	Simple diisohexagonal orthogonal	29	9 (+2)	19 (+5)	1	Diisohexagonal orthogonal RR
		Simple diisohexagonal orthogonal	29	9 (+2)	19 (+3)	1	Diisohexagonal orthogonal P
		Complex diisohexagonal orthogonal	30	13 (+8)	15 (+9)	1	Diisohexagonal orthogonal P
XXII	Icosagonal		31	7	20	2	Icosagonal P, SN
XXIII	Hypercubic	Octagonal hypercubic	32	21 (+8)	73 (+15)	1	Hypercubic P
		Octagonal hypercubic	32	21 (+8)	107 (+28)	1	Hypercubic Z
		Dodecagonal hypercubic	33	16 (+12)	25 (+20)	1	Hypercubic Z
共計	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

參見

參考資料

Cornelis Klein, Barbara Dutrow, 2007. Manual of Mineral Science, 23rd Edition

^ （簡體中文）麥松威、周公度、李偉基. 高等无机结构化学第二版. 北京: 北京大學出版社. 2006. ISBN 9787301047934.
^ （英文）存档副本. [2011-11-25]. （原始內容存檔於2013-07-04）.
^ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Whittaker, E. J. W. An Atlas of Hyperstereograms of the Four-Dimensional Crystal Classes. 牛津: 牛津大學出版社. 1985. ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498.
^ ^4.0 ^4.1 Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. 紐約: Wiley. 1978. ISBN 978-0-471-03095-9. OCLC 939898594.

外部連結

Overview of the 32 groups
Mineral galleries – Symmetry
all cubic crystal classes, forms, and stereographic projections (interactive java applet)
Crystal system （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at the Online Dictionary of Crystallography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Crystal family （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at the Online Dictionary of Crystallography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Lattice system （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at the Online Dictionary of Crystallography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Conversion Primitive to Standard Conventional for VASP input files 網際網路檔案館的存檔，存檔日期2021-11-26.
Learning Crystallography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[gwj-1] （簡體中文）麥松威、周公度、李偉基. 高等无机结构化学第二版. 北京: 北京大學出版社. 2006. ISBN 9787301047934.

[2] （英文）存档副本. [2011-11-25]. （原始內容存檔於2013-07-04）.

[Whittaker-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Whittaker, E. J. W. An Atlas of Hyperstereograms of the Four-Dimensional Crystal Classes. 牛津: 牛津大學出版社. 1985. ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498.

[Brown-4] 4.0 ^4.1 Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. 紐約: Wiley. 1978. ISBN 978-0-471-03095-9. OCLC 939898594.

[1]

[2]

[3]

[4]