比較審斂法(Direct comparison test)是一種判定級數是否收斂的方法。

無窮級數
無窮級數

定理

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設兩個級數  ,且 

如果級數 收斂,則級數 收斂;


設兩個級數  ,且 

如果級數 發散,則級數 發散。

證明

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證明1

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  時,則有 

當級數 收斂時,數列 有界,從而數列 有界,所以級數 收斂;

當級數 發散時,數列 無界,從而數列 無界,所以級數 發散。

證明2

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設有級數  ,其中 絕對收斂( 收斂)。不失一般性地假設對於任何正整數n,都滿足 。考慮它們的部分和 由於 絕對收斂,存在實數T,使得 成立。

對於任意n,都有  (因滿足 )

由於 為單調不下降序列, 為單調不上升序列(隨着n上升,屬於 的便多過屬於 ),給定  都屬於閉區間 ,當N趨向無窮大時,這個區間的長度 趨向於0。這表明 是一個柯西序列,因此收斂於一個極限值。因此 絕對收斂。

參見

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