除以零

將某數除以0的運算

數學中,被除數除數分母)是或將某數除以零,可表達為是被除數。在算式中沒有意義,因為沒有數目,以零相乘(假設),由於任何數字乘以零均等於零,因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中,此式為無意義。在程序設計中,當遇上正整數除以零程序會中止,正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況,而在Microsoft ExcelOpenofficeLibreofficeCalc中,除以零會直接顯示#DIV/0! 。

除以0時計算器的錯誤

基本算術

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基本算術中,除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如, 個蘋果平分給 人,每人可得 個蘋果。同理, 個蘋果只分給 人,則其可獨得 個蘋果。

若除以 又如何?若有 顆蘋果,無人( 解作沒有)來分,每「人」可得多少蘋果?問題本身是無意義的,因根本無人來,論每「人」可得多少,根本多餘。因此, ,在基本算術中,是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「 除以 」,換一種說法, 減去兩個 ,餘下 ,即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數,算式為 餘數 。若某數除以零,就算不斷減去零,餘數也不可能小於除數,使得算式與無窮拉上關係,超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題,即為無窮大以零仍是零。

早期嘗試

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婆羅摩笈多(598–668年)的著作《婆羅摩曆算書英語Brahmasphutasiddhanta》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確,根據婆羅摩笈多所說,

830年,另一位數學家摩訶吠羅英語Mahāvīra (mathematician)在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤,但不成功:

婆什迦羅第二嘗試解決此問題,答案是讓 。雖然此定義有一定道理,但會導致一個悖論: 的結果可以是任意一個數,所以所有的數都是相同的。[1]

微積分數學分析中,像  這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的,結果可能是任意數。

 
安卓手機計算器除以0顯示無限大

代數處理

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若某數學系統遵從的公理,則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作,即 值是方程  的解(若有的話)。若設 ,方程式 可寫成 或直接 。因此,方程式 沒有解(當 時),但 是任何數值也可解此方程(當 時)。在各自情況下均沒有獨一無二的數值,所以 未能下定義。

除以零的謬誤

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在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明 

式:

 

試:

 :正確
 :正確

得出:

 

除以零得出

 

簡化,得出:

 

以上謬論假設,某數除以0是容許的,並且 

另一個簡潔的證明

 ,則 兩邊同時減去 ,由平方差公式 兩邊除以   

通過上面的過程,證明了一切數字等於 。此謬論是由於簡化的過程不正確,計算過程使用了「除以零」。

因為 是零,所以不能夠把左右兩邊的 刪去。

虛假的除法

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矩陣代數或線性代數中,可定義一種虛假的除法,設 ,當中 代表 的虛構倒數。這樣,若 存在,則 。若 ,則 ;參見廣義逆

數學分析

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函數 的圖像。當x趨向0,左極限和右極限分別趨向負無限及正無限。

擴展的實數軸

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表面看來,可以藉着考慮隨着 趨向  來定義「除以零」。

對於任何正數 ,右極限是

 

另一方面,左極限是

 

由於左極限及右極限不相同,因此函數在 的極限不存在,該點沒有定義。同樣地,若 是負數,極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零,則可使用洛必達法則計算。

不定型極限

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不定型(Indeterminate Form)的極限可透過四則運算洛必達法則計算。

考慮函數 

如果直接代入 ,會得到零除以零,這是沒有意義的。

 

但透過約簡分子及分母,該點的極限是可以計算的。

 

此外,函數的極限可透過洛必達法則計算。

 

若隨着 趨向   均趨向 ,該極限可等於任何實數或無限,或者根本不存在,視乎  是何函數。

形式推算

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運用形式推算英語formal calculation,正號、負號或沒有正負號因情況而定,除以零定義為:

 

黎曼球

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集合 黎曼球Riemann sphere),在複分析中相當重要。

計算機科學

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不同程式語言下除以零的結果
程式語言 整數 浮點數
C語言 未定義行為,早期計算機可能崩潰;如果0是常數,可能導致編譯警告。 無窮大NaN
Java 拋出ArithmeticException異常 無窮大或NaN
JavaScript 不適用,JavaScript無整數類型 無窮大或NaN
Python 拋出ZeroDivisionError異常 拋出ZeroDivisionError異常;但是部分Python包提供的運算函數除外

在計算機中,除以零的結果根據程式語言、軟硬件環境、數據類型、數值而不同。部分語言中,無論是整數還是浮點數,除以0均會產生異常,而在另一部分語言中,整數除以零會產生異常或未定義行為,而浮點數除以零的結果如下:

  • 零與NaN除以零:NaN(註:NaN不等於NaN)
  • 零與NaN以外的數除以符號相同的0(如1除以0):正無窮大
  • 零與NaN以外的數除以符號不同的0(如1除以-0、-1除以0):負無窮大

註釋

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  1. ^ Zero 互聯網檔案館存檔,存檔日期2008-12-04.

參考

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  • Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).
  • Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸閱讀

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參見

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