超椭圆

超椭圆（英语：superellipse）也称为拉梅曲线（Lamé curve），是在笛卡儿坐标系下满足以下方程式的点的集合：

n = 0.5，a = b = 1的超椭圆

n = 1.5，a = b = 1的超椭圆

n = 4，a = b = 1的超椭圆，也称为方圆形（Squircle）

$|{\frac {x}{a}}|^{n}\!+|{\frac {y}{b}}|^{n}\!=1$

其中n、a及b为正数。

上述方程式的解会是一个在−a ≤ x ≤ +a及−b ≤ y ≤ +b长方形内的封闭曲线，参数a及b称为曲线的半直径（semi-diameters）。

n在0和1之间时，超椭圆的图形类似一个曲线的四角星，四边的曲线往内凹。

n为1时，超椭圆的图形为一菱形，四个顶点为（±a, 0）及（0, ±b）。n在1和2之间时，超椭圆的图形类似菱形，四个顶点位置相同，但四边是往外凸的曲线，越接近顶点，曲线的曲率越大，顶点的曲率趋近无限大。

n为2时，超椭圆的图形即为椭圆（若a = b时则为一个圆形）。当n大于2时，超椭圆的图形看似四角有圆角的长方形，曲线的曲率在（±a, 0）及（0, ±b）四点为0。n为4的超椭圆也称为方圆形。

n < 2的超椭圆也称为次椭圆（hypoellipse），n > 2的超椭圆则称为过椭圆（hyperellipse）。

当n ≥ 1，且a = b=1时的超椭圆是二维L^p空间下的单位圆，n即为其p-范数。

超椭圆的极点为（±a, 0）及（0, ±b），而其四个“角”为（±sa, ±sb），其中 $s=2^{-{\frac {1}{n}}}$。

数学性质

当n为一个非零的有理数p/q（最简分数形式），则超椭圆为一平面代数曲线。若n为正数，其曲线次数为pq，若n为负数，其曲线次数为2pq。若a和b均为1且n为偶数，则此超椭圆为一n次的费马曲线，此时超椭圆没有奇点，但一般而言超椭圆中会有有奇点。

超椭圆的动画

超椭圆的参数方程如下：

$\left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}$

或

${\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta }|^{\frac {2}{n}}\times a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin }\theta |^{\frac {2}{n}}\times b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}$

超椭圆内的面积可以用Γ函数Γ(x)来表示：

$\ S$ = $\Gamma (x)=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.$

其垂足曲线较容易计算，而以下曲线的垂足曲线

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}\!+\left({\frac {y}{b}}\right)^{n}\!=1$

可以用极坐标方式来表示：

$(a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.$

延伸

广义的超椭圆，m ≠ n.

超椭圆可以延伸为以下的形式：

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.$

或

${\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}$

其中的$\theta$不是表示角度，只是方程式的一个参数。

历史

超椭圆在笛卡儿坐标系下的表示式是由1795年出生的法国数学家加布里埃尔·拉梅，由椭圆的方程式扩展而得。

Zapf's Melior字体的'o'及'O'的轮廓可以用n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2.758的超椭圆来表示

字体设计师赫尔曼·察普夫在1952年设计的Melior字体，利用超椭圆作为字母o的外形。三十年后高德纳设法选择了介于椭圆及超椭圆之间的曲线（两者都用样条函数近似），作为他的Computer Modern字体。

1959年时瑞典斯德哥尔摩提出了其市中心赛格尔广场圆环的设计竞赛。丹麦诗人皮亚特·海恩(1905–1996)的设计以是一个n = 2.5，a/b = 6/5的超椭圆为基础。他的说明如下：

人是唯一一种会画线然后将自己绊倒的动物。整个文明的推进有二个不同的取向：一种以直线及长方形为主，另一种则圆弧线为主。二种取向都有其机构上及心理上的原因。直线的事物可以放在一起，节省空间。而圆的东西很简单，容易移动。但我们常常会陷入要在二者中选择一个的困境，此时往往是介于二者中间的事物会更合适。随意绘制的作品－例如以往在斯德哥尔摩出现过的圆环－无法达到这一点。它不是一个固定的形状，也不像圆或方形有明确的定义，在美感上有所不足。超椭圆解决了这一个问题，它介于圆和长方形之间，既不是圆也不是长方形。它是一个有固定形状、有明确定义的一个整体。

赛格尔广场在1967年完成，而皮亚特·海恩继续在其他的艺术品中使用超椭圆，包括床、碟子、桌子等。皮亚特·海恩将超椭圆以长轴为轴心旋转，形成了一个立体的超级蛋，其特点是可以平面上直立，不会倒下，因此变成一个特别的玩具。

1968年在巴黎在为越战谈判时，谈判者不满意谈判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄给纽约时报的信件中建议以超椭圆作为谈判桌的外形。1968年由墨西哥城主办奥运时，也以超椭圆为阿兹特克体育场的外形。

沃尔多·托布勒在1973年提出了托布勒超椭圆投影，其中的经线就是用超椭圆来表示。

美式橄榄球球队匹兹堡钢人的标志是三个相连的超椭圆。

相关条目

• 星形线，n = 2/3，且a = b的超椭圆，是四尖瓣的内摆线。
  • 三尖瓣线，是三尖瓣的内摆线。
• 方圆形，n = 4，且a = b的超椭圆，看起来像是“正方形的轮子”。
  • 勒洛三角形，看起来像是“三角形的轮子”。
• 超公式，超椭圆的延伸。
• 超二次曲面，三维下的超椭圆。
• 超椭圆曲线，方程为Yⁿ = f(X)的曲线。