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一个双射函数

數學中,一個由集合映射至集合函數,若對每一在內的,存在唯一一個在內的与其对应,則此函數為對射函數

換句話說,是雙射的,如果其為兩集合間的一一對應。即,同時為單射滿射

例如,由整數集合的函數,其將每一個整數連結至整數,這是一個雙射函數;再看一個例子,函數,其將每一對實數連結至,這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為雙射英语:bijection)或置換。後者一般較常使用在時。以由的所有雙射組成的集合標記為

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色,如在同構的定義(以及如同胚微分同構等相關概念)、置換群投影映射及許多其他概念的基本上。

目录

複合函數與反函數编辑

一函數 為雙射的若且唯若其逆關係 也是個函數。在這情況, 也會是雙射函數。

兩個雙射函數  複合函數 亦為雙射函數。其反函數為 

 
一个複合所得的双射,左侧为单射,右侧为满射。

另一方面,若 為雙射的,可知 是單射的且 是滿射的,但也僅限於此。

一由  的關係 為雙射函數若且唯若存在另一由  的關係 ,使得  上的恆等函數,且  上的恆等函數。必然地,此兩個集合會有相同的

雙射與勢编辑

  有限集合,則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實,在公理集合論裡,這正是「相同元素個數」的定義,且廣義化至無限集合,並導致了基數的概念,用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例编辑

  • 對任一集合 ,其恆等函數為雙射函數。
  • 函數 ,其形式為 ,是雙射的,因為對任一 ,存在一唯一 使得 
  • 指數函數 ,其形式為 ,不是雙射的:因為不存在一 內的 使得 ,故 非為雙射。但若其陪域改成正實數 ,則 便是雙射的了;其反函數為自然對數函數 
  • 函數  :  ,其形式為 ,不是雙射的:因為 ,故 非為雙射。但如果把定義域也改成 ,則 便是雙射的了;其反函數為正平方根函數。
  •  不是雙射函數,因為  都在其定義域裡且都映射至 
  •  不是雙射函數,因為 和2 都在其定義域裡且都映射至 

性質编辑

  • 一由實數  的函數 是雙射的,若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
  •  為一集合,則由 至其本身的雙射函數,加上其複合函數「 」的運算,會形成一個,即為 對稱群,其標記為   
  • 取一定義域的子集 及一陪域的子集 ,則
  
  •   為具相同有限集合,且 ,則下列三種說法是等價的:
  1.  為一雙射函數。
  2.  為一滿射函數。
  3.  為一單射函數。
  • 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如 )。

雙射與範疇論编辑

形式上,雙射函數恰好是集合範疇內的同構

另見编辑

參考文獻编辑

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外部連結编辑