置换群

数学上，一个给定集$M$上，所有到自身的可逆映射构成的集合关于映射的合成构成一个群，称为$M$的对称群，记为$S_{M}$。$S_{M}$的任一子群称为$M$上的变换群。 如果$M$是包含$n$个元素的有限集，称其到自身的可逆映射为$n$阶置换（英语：permutation）。其对称群称为$n$阶对称群（英语：sysmmetric group of degree n），并把$S_{M}$记为$S_{n}$。同时称$S_{n}$的任一子群为置换群。

置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用，也是研究晶体的结构等所不可或缺的工具。

例子

置换通常写作轮换形式，例如，在轮换指标计算中，给定集合$M=\{1,2,3,4\}$，$M$的一个置换$g$若为$g(1)=2,g(2)=4,g(4)=1$和$g(3)=3$，可以写作$(1,2,4)(3)$，或者更常见的写作$(1,2,4)$，因为$3$保持不变；若对象有单个字母或数字表示，逗号也被省去，所以可以记作$(1\ 2\ 4)$。

常见的置换群

$M=\{1,2\}$

$(1),(1\ 2)$

$M=\{1,2,3\}$

$(1),(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)$

$M=\{1,2,3,4\}$

$(1),$ $(1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4),$ $(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2\ 4),(1\ 4\ 2),(1\ 3\ 4),(1\ 4\ 3),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3),$ $(1\ 2\ 3\ 4),(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 3\ 2\ 4),(1\ 3\ 4\ 2),(1\ 4\ 2\ 3),(1\ 4\ 3\ 2),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)$

参看

• 群作用
• 本原群
• 置换
• 轮换
• 交错群

参考

• John D. Dixon and Brian Mortimer. Permutation Groups. Number 163 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
• Akos Seress. Permutation group algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups" （页面存档备份，存于互联网档案馆）.