數學中,一個由集合映射至集合函數,若對每一在內的,存在唯一一個在內的與其對應,且對每一在內的,存在唯一一個在內的與其對應,則此函數為對射函數

一個對射函數

換句話說,如果其為兩集合間的一一對應,則是對射的。即,同時為單射滿射

例如,由整數集合的函數,其將每一個整數連結至整數,這是一個對射函數;再看一個例子,函數,其將每一對實數連結至,這也是個對射函數。

一對射函數亦簡稱為對射(英語:bijection)或置換。後者一般較常使用在時。以由的所有對射組成的集合標記為

對射函數在許多數學領域扮演着很基本的角色,如在同構的定義(以及如同胚微分同構等相關概念)、置換群投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

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一函數 為對射的當且僅當其逆關係 也是個函數。在這情況, 也會是對射函數。

兩個對射函數  複合函數 亦為對射函數。其反函數為 

 
一個複合所得的對射,左側為單射,右側為滿射。

另一方面,若 為對射的,可知 是單射的且 是滿射的,但也僅限於此。

一由  的關係 為對射函數當且僅當存在另一由  的關係 ,使得  上的恆等函數,且  上的恆等函數。必然地,此兩個集合會有相同的

對射與勢

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  有限集合,則其存在一兩集合的對射函數當且僅當兩個集合有相同的元素個數。確實,在公理集合論裏,這正是「相同元素個數」的定義,且廣義化至無限集合,並導致了基數的概念,用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

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  • 對任一集合 ,其恆等函數為對射函數。
  • 函數 ,其形式為 ,是對射的,因為對任一 ,存在一唯一 使得 
  • 指數函數 ,其形式為 ,不是對射的:因為不存在一 內的 使得 ,故 非為對射。但若其對應域改成正實數 ,則 便是對射的了;其反函數為自然對數函數 
  • 函數  :  ,其形式為 ,不是對射的:因為 ,故 非為對射。但如果把定義域也改成 ,則 便是對射的了;其反函數為正平方根函數。
  •  不是對射函數,因為  都在其定義域裏且都映射至 
  •  不是對射函數,因為 和2 都在其定義域裏且都映射至 

性質

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  • 一由實數  的函數 是對射的,當且僅當其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
  •  為一集合,則由 至其本身的對射函數,加上其複合函數「 」的運算,會形成一個,即為 對稱群,其標記為   
  • 取一定義域的子集 及一對應域的子集 ,則
  
  •   為具相同有限集合,且 ,則下列三種說法是等價的:
  1.  為一對射函數。
  2.  為一滿射函數。
  3.  為一單射函數。
  • 一個嚴格的單調函數是對射函數,但對射函數不一定是單調函數(例如 )。

對射與範疇論

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形式上,對射函數恰好是集合範疇內的同構

另見

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參考文獻

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外部連結

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