梅森数是形如2n-1的数(n是正整數),记为;如果梅森数是素数就称梅森素数(英語:Mersenne prime)。

梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名,他列出了n≤257的梅森素数,不过他错误包括了不是梅森素数的M67M257,而遗漏了M61M89M107

n合数时,一定为合数(當a整除b時,一定整除,反之亦然)。但n为素数时,不一定皆為素数,如是素数,但不是素数。

截至2018年12月已知51个梅森素数,最大的是282589933-1[1]。从1997年至今,所有新的梅森素数都由互联网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现。

相关命题和定理

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梅森数和梅森素数的性质

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  •  
  • q≡3mod4为素数。则2q+1是素数充分必要条件2q+1整除Mq ,因此對於這些素數q(除了3),Mq不可能會是質數,前幾個這樣的素數q為11、23、83、131、179、191、239、251、359、419、431、443、491、659、683、719、743、911、1019、1031、1103、1223、1439、1451、1499、… (OEIS數列A002515
  • 拉馬努金-南哥尔方程(Ramanujan–Nagell Equation):Mq=6+x2。当q为3、5和7时,Mq为梅森素数,方程有整数解;q为合数4和15时,方程亦有整数解;q为其它自然数时,方程没有整数解。
  • 如果p是奇素数,任何能整除2p − 1的素数q都一定是2p的倍数加1,如211 − 1=23×89,而23=1+2×11,89=1+8×11。
  • 如果p是奇素数,任何能整除2p − 1的素数q都一定与 同余。

梅森数和梅森素数的关系

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下面的命题关注什么梅森数是梅森素数。

  •  知:「q素数」是「Mq素数」的必要条件,但不是充分条件M11=211 − 1=23×89是最小的反例
  • Mq(q是素数)有:
    • aMq的因数,则a有如下性质:
      • a ≡ 1 mod 2q
      • a ≡ ±1 mod 8
    • 形如6k+1的数有欧拉理论表明:当且仅当有数对(xy)使Mq=(2x2+3(3y2Mq是素数,其中q≥5。
    • 最近,Bas jansen研究了等式Mqx2dy2(0≤d≤48),得出了d=3時的新证明方法。
    • Reix发现q>3时,Mq可写成Mq=(8x2-(3qy2=(1+Sq2-(Dq2;显然,若有数对(xy),Mq就是素数。

检验梅森素数

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Mn为素数当且仅当Mn整除Sn-2S0=4,SkS2k−1 − 2,k>0),此數列為4、14、194、37634、1416317954、2005956546822746114、4023861667741036022825635656102100994、…(OEIS數列A003010

与完全数的关系

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相关问题和猜想

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  • 梅森素数是否有无限个
  • 梅森素数如何分布

寻找梅森素数

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  • 头四个梅森素数M2M3M5M7在古代已知。
  • 第五个梅森素数M13在1461年之前发现;
  • M17M19两數随后在1588年由Cataldi发现。
  • 17世纪法国数学家马兰·梅森列出了他认为的幂小于等于257的梅森素数,其中错误包括了不是素数的M67M257,遗漏了M61M89M107。这也是“梅森素数”一名的由来。
  • 一个多世纪后的1750年,才由欧拉证实M31是第8个梅森素数。
  • 下个发现的梅森素数是由卢卡斯在1876年证明的M127
  • 1883年,Pervushin证实M61
  • M89M107在20世纪早期由Powers分别在1911年和1914年发现。
  • 发明电子计算机改革了梅森素数的寻找過程。第一項成功例子是证明M521,它由莱默指导,用拉斐爾·米切爾·羅賓遜教授编写的软件,利用坐落在洛杉矶加利福尼亚大学数据分析协会的,属于美国国家标准局的西部自动计算机(SWAC)于1952年1月30日晚上10:00获得,并且在随后不到两小时发现下个梅森素数M607。在随后的几个月裡,使用同样的程序发现了另外三个梅森素数M1279M2203M2281
  • 素數P值增大,搜尋梅森素數MP的過程都艱辛無比,但各國科學家及業餘研究者仍樂此不疲,激烈競爭;1979年2月23日,當美國克雷研究公司計算機專家史洛溫斯基納爾遜宣布找到第26個梅森素數M23209時才知諾爾在兩星期前已得到這結果。
  • 為此,史洛溫斯基潛心發憤,花了一個半月用CRAY-1型計算機找到新梅森素數M44497,這紀錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。
  • 他之後乘勝前進,使用改進了的CRAY-XMP型計算機在1983年至1985年間找到3個梅森素數M86243M132049M216091,但未能確定M86243M216091之間是否有異於M132049的梅森素數。而到了1988年科爾魁特韋爾什使用NEC-FX2型超高速并行計算機果然捉到「漏網之魚」M110503
  • 到2018年12月已知51个梅森素数;现在已知最大的素数是梅森素数M82589933,像前几个一样都是由因特网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现。
  • 2010年7月11日GIMPS確認M2099萬6011是第40個梅森素数。[2]
  • 2011年12月1日GIMPS确认M2403萬6583是第41个梅森素数。[2]
  • 2012年12月20日GIMPS确认M2596萬4951是第42个梅森素数。[2]
  • 2013年1月25日GIMPS发现M5788萬5161[2]
  • 2014年2月23日GIMPS确认M3040萬2457是第43个梅森素数。[2]
  • 2014年11月8日GIMPS确认M3258萬2657是第44个梅森素数。[2]
  • 2016年1月7日GIMPS發現M7420萬7281[2]
  • 2018年1月3日GIMPS发现的M7723萬2917有23249425位数[3]
  • 2018年12月7日GIMPS的M8258萬9933有24862048位数[1]

梅森素数列表

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  古代知道的梅森素数

  以試除法發現的梅森素数

  梅森遺漏的梅森素数

  GIMPS發現的梅森素数

  拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現的梅森質數

  亞歷山大·赫維茲發現的梅森質數

  Donald B. Gillies發現的梅森質數

  Walt ColquittLuke Welsh發現的梅森質數

下表列出所有已知的梅森素数: A000668

n Mn Mn的位数 发现日期 发现者 算法
1 2 3 1 公元前5世紀 古希臘数學家
2 3 7 1 公元前5世紀 古希臘数學家
3 5 31 2 公元前3世紀 古希臘数學家
4 7 127 3 公元前3世紀 古希臘数學家
5 13 8191 4 1456年 无名氏 试除法
6 17 131071 6 1588年 彼得羅·卡塔爾迪 试除法
7 19 524287 6 1588年 彼得羅·卡塔爾迪 试除法
8 31 2147483647 10 1772年 莱昂哈德·欧拉 优化的试除法
9 61 2305843009213693951 19 1883年 伊萬·波佛辛 卢卡斯数列
10 89 618970019642690137449562111 27 1911年 拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯 卢卡斯数列
11 107 162259276829213363391578010288127 33 1914年 拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯 卢卡斯数列
12 127 170141183460469231731687303715884105727 39 1876年 爱德华·卢卡斯 卢卡斯数列
13 521 686479766013…291115057151 157 1952年1月30日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯-莱默检验法
14 607 531137992816…219031728127 183 1952年1月30日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯-莱默检验法
15 1279 104079321946…703168729087 386 1952年6月25日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯-莱默检验法
16 2203 147597991521…686697771007 664 1952年10月7日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯-莱默检验法
17 2281 446087557183…418132836351 687 1952年10月9日 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 卢卡斯-莱默检验法
18 3217 259117086013…362909315071 969 1957年9月8日 Hans Riesel 卢卡斯-莱默检验法
19 4253 190797007524…815350484991 1281 1961年11月3日 亞歷山大·赫維茲 卢卡斯-莱默检验法
20 4423 285542542228…902608580607 1332 1961年11月3日 亞歷山大·赫維茲 卢卡斯-莱默检验法
21 9689 478220278805…826225754111 2917 1963年5月11日 Donald B. Gillies 卢卡斯-莱默检验法
22 9941 346088282490…883789463551 2993 1963年5月16日 Donald B. Gillies 卢卡斯-莱默检验法
23 1萬1213 281411201369…087696392191 3376 1963年6月2日 Donald B. Gillies 卢卡斯-莱默检验法
24 1萬9937 431542479738…030968041471 6002 1971年3月4日 布萊恩特·塔克曼 卢卡斯-莱默检验法
25 2萬1701 448679166119…353511882751 6533 1978年10月30日 Landon Curt Noll & Laura Nickel 卢卡斯-莱默检验法
26 2萬3209 402874115778…523779264511 6987 1979年2月9日 Landon Curt Noll 卢卡斯-莱默检验法
27 4萬4497 854509824303…961011228671 1萬3395 1979年4月8日 Harry Nelson & David Slowinski 卢卡斯-莱默检验法
28 8萬6243 536927995502…209433438207 2萬5962 1982年9月25日 David Slowinski 卢卡斯-莱默检验法
29 11萬0503 521928313341…083465515007 3萬3265 1988年1月28日 Walt Colquitt & Luke Welsh 卢卡斯-莱默检验法
30 13萬2049 512740276269…455730061311 3萬9751 1983年9月20日 David Slowinski 卢卡斯-莱默检验法
31 21萬6091 746093103064…103815528447 6萬5050 1985年9月6日 David Slowinski 卢卡斯-莱默检验法
32 75萬6839 174135906820…328544677887 22萬7832 1992年2月19日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯-莱默检验法
33 85萬9433 129498125604…243500142591 25萬8716 1994年1月10日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯-莱默检验法
34 125萬7787 412245773621…976089366527 37萬8632 1996年9月3日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯-莱默检验法
35 139萬8269 814717564412…868451315711 42萬0921 1996年11月13日 GIMPS/Joel Armengaud 卢卡斯-莱默检验法
36 297萬6221 623340076248…743729201151 89萬5932 1997年8月24日 GIMPS/Gordon Spence 卢卡斯-莱默检验法
37 302萬1377 127411683030…973024694271 90萬9526 1998年1月27日 GIMPS/Roland Clarkson 卢卡斯-莱默检验法
38 697萬2593 437075744127…142924193791 209萬8960 1999年6月1日 GIMPS/Nayan Hajratwala 卢卡斯-莱默检验法
39 1346萬6917 924947738006…470256259071 405萬3946 2001年11月14日 GIMPS/Michael Cameron 卢卡斯-莱默检验法
40 2099萬6011 125976895450…762855682047 632萬0430 2003年11月17日 GIMPS/Michael Shafer 卢卡斯-莱默检验法
41 2403萬6583 299410429404…882733969407 723萬5733 2004年5月15日 GIMPS/Josh Findley 卢卡斯-莱默检验法
42 2596萬4951 122164630061…280577077247 781萬6230 2005年2月18日 GIMPS/Martin Nowak 卢卡斯-莱默检验法
43 3040萬2457 315416475618…411652943871 915萬2052 2005年12月15日 GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone 卢卡斯-莱默检验法
44 3258萬2657 124575026015…154053967871 980萬8358 2006年9月4日 GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone 卢卡斯-莱默检验法
45 3715萬6667 202254406890…022308220927 1118萬5272 2008年9月6日 GIMPS/Hans-Michael Elvenich 卢卡斯-莱默检验法
46 4264萬3801 169873516452…765562314751 1283萬7064 2009年4月12日[註 1] GIMPS/Odd M. Strindmo 卢卡斯-莱默检验法
47 4311萬2609 316470269330…166697152511 1297萬8189 2008年8月23日 GIMPS/Edson Smith 卢卡斯-莱默检验法
48 5788萬5161 581887266232…071724285951 1742萬5170 2013年1月25日 GIMPSCurtis Cooper 卢卡斯-莱默检验法
49* 7420萬7281 300376418084…391086436351 2233萬8618 2015年9月17日[註 2] GIMPSCurtis Cooper 卢卡斯-莱默检验法
50* 7723萬2917 467333183359…069762179071 2324萬9425 2017年12月26日 GIMPS/Jon Pace 卢卡斯-莱默检验法
51* 8258萬9933 148894445742…325217902591 2486萬2048 2018年12月7日 GIMPS/Patrick Laroche 卢卡斯-莱默检验法

注:现在还不知道第48个梅森素数(M57885161)和第51个(M82589933)间是否还有未知梅森素数,其序号用*标出,如有會通知遞補。

  1. ^ 2009年4月12日首次有機器發現M4264萬3801,但直到6月4日才有人注意到,兩者皆可視為發現日期。
  2. ^ 2015年9月17日首次有機器發現M7420萬7281,但直到2016年1月7日才有人注意到,兩者皆可視為發現日期;GIMPS以後者為正式日期。

外部链接

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参考

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  1. ^ 1.0 1.1 Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!. www.mersenne.org. [2018-12-24]. (原始内容存档于2018-12-22). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 GIMPS Milestones. [2012-03-03]. (原始内容存档于2016-09-03). 
  3. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1. Mersenne Research, Inc. 2018年1月3日 [2018年1月14日]. (原始内容存档于2018年1月3日).