打开主菜单

可觀察量

(重定向自確定態
斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,分裂成兩道銀原子束,一道銀原子束的為上旋,另一道銀原子束的為下旋。在這裏,是可觀察量。

物理學裏,特別是在量子力學裏,處於某種狀態的物理系統,它所具有的一些性質,可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質,稱為可觀察量observable)。例如,物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統,然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏,任何可以用實驗測量獲得的可觀察量,都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏,物理系統的狀態稱為量子態,其與可觀察量的關係更加微妙,必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述,量子態可以用存在於希爾伯特空間態向量來代表,量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

目录

數學表述编辑

本徵態编辑

假設,物理量 是某量子系統的可觀察量,其對應的量子算符 ,可能有很多不同的本徵值 與對應的本徵態 ,這些本徵態 ,形成了具有正交歸一性基底[1]:96-99

 

其中, 克羅內克函數

任何描述這量子系統的量子態 ,都可以用這基底的本徵態表示為

 

其中, 是複係數,是在量子態 裏找到量子態 機率幅[2]:50

假設,量子態 等於這些本徵態之中的一個本徵態 ,則對於這量子系統,測量可觀察量 ,得到的結果必定等與本徵值 ,機率為1,量子態 是「確定態」。

統計詮釋编辑

根據統計詮釋,對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值,測量結果只能是其中一個本徵值,而且,每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態,並且,在之後短暫片刻內,量子系統的量子態仍舊是這本徵態。[1]:106-109

假設,某量子系統的量子態為

 

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符 的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態 ,則改變為這本徵態的機率為 ,測量結果是本徵值 ,得到這本徵值的機率也為 。在測量之後短暫片刻內,量子系統的量子態仍舊是本徵態 

將算符 作用於量子態 ,會形成新量子態 

 

從左邊乘以量子態 ,經過一番運算,可以得到

 

所以,每一個本徵值與其機率的乘積,所有乘積的代數和就是可觀察量 期望值

 

厄米算符编辑

每一種經過測量而得到的物理量都是實數,因此,可觀察量 的期望值是實數:

 

對於任意量子態 ,這關係都成立:

 

根據伴隨算符的定義,假設  的伴隨算符,則 。因此,

 

這正是厄米算符的定義。所以,表現可觀察量的算符,都是厄米算符。[1]:96-99

不相容可觀察量编辑

假若兩種可觀察量的對易算符不等於0,則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」:[1]:110-112

 

其中,  分別是可觀察量  的算符。

這兩種算符  絕對不會有共同的基底。一般而言, 的本徵態與 的本徵態不同[註 1]假設量子系統的量子態為 。對於算符 ,所有本徵值為 的本徵態 ,形成一個基底。量子態 可以表示為這組基底本徵態的線性組合

 

其中, 是複係數,是在量子態 裏找到量子態 機率幅[2]:50

對於算符 ,所有本徵值為 的本徵態 ,形成了另外一個基底。量子態 可以表示為這組基底本徵態的線性組合

 

其中, 是複係數,是在量子態 裏找到量子態 機率幅[2]:50

對於量子系統的可觀察量 做測量,可能得到的結果是各種本徵態 的本徵值 ,獲得這些不同結果的機會具有機率性,可以表達為機率分佈,結果為 的機率是 

假設測量的結果是本徵值 ,則可以推斷,在測量之後短暫片刻內,量子態是本徵態 。假若立刻再測量可觀察量 ,由於量子態仍舊是本徵態 ,所得到的測量值是本徵值 機率為1。假若立刻再對本徵態 測量可觀察量 ,則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值 ,則可以推斷,在測量之後短暫片刻內,量子態是本徵態 

根據不確定性原理

 

設定 。假設,  是兩個不相容可觀察量,則 。而 的不確定性與 的不確定性的乘積 ,必定大於或等於 

實例编辑

為了具體計算位置與動量的期望值,可以將量子態表現於位置空間,以位置空間的波函數來表示,使用對應的代數算符。

位置與動量编辑

位置 ,動量 都是可觀察量,它們的算符都是厄米算符:

 
 

角動量编辑

在三維空間裏,角動量算符的x-分量 是厄米算符。因為

 

其中,  分別是位置的y-分量與z-分量,  分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地,角動量算符的y-分量 也是厄米算符。

參閱编辑

註釋编辑

  1. ^ 通常這句話成立,但也存在有例外。思考氫原子角量子數為零( )的量子態,它是   的本徵態,本徵值都為零,而這三個自伴算符都互不對易,它們對應的可觀察量彼此之間都是不相容可觀察量。[3]

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  3. ^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 452–453, 1978, ISBN 9780748740789 (英语)