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自然密度英语:natural density),又称渐进密度英语:asymptotic density),是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

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简介编辑

平方数集和自然数集的大小关系为例:

平方数集与自然数集都是可数无穷集,我们能够在两个集合间建立一一映射(对于任意的自然数 都可以找到对应的平方数 与之对应,反之亦然),即两个集合是等势的。
然而,这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识,因为所有平方数都是自然数,而却有许多自然数不是平方数,且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化,可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集 整数区间 

如果从整数区间 随机选取一个整数,那么这个整数属于 概率应该等于 与整数区间 的交集中的所有元素在整数区间 中的占比。当 趋近于无穷时,若上述概率也趋近于某个极限,则将该极限定义为 的自然密度。
 的自然密度也可以被理解为:任取一个自然数,该自然数属于 的概率。

自然密度(以及一些其他类型的密度)也是概率数论英语Probabilistic number theory的研究对象。

施尼勒尔曼密度不同,并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

定义编辑

对于一个自然数集的子集 ,当 趋向于无穷时,若 中不大于 的元素个数与 的比值收敛 ,则称 的自然密度为 

更进一步,若定义  里不大于 的元素个数,那么命题“ 的自然密度为 ”等效于:

 ,当 [1]

从定义中可以看出,若 是某个集合 的自然密度,则一定有 

上自然密度编辑

  是自然数集 的一个子集。对任何 ,定义  

 上自然密度英语:upper asymptotic density)为:

 

其中 上极限 也可简称为 上密度。 

下自然密度编辑

同样地,定义A的下自然密度英语:lower asymptotic density)为:

 

自然密度的其他定义方法编辑

1. 由上自然密度和下自然密度的定义,我们也可以说 自然密度 是:

 ,则 等于 (或  ) 。

2. 自然密度的定义还可以表示为:

 (若极限存在)[2]

3. 可以证明,下述命题也是自然密度的定义:

若将自然数集 的子集 写作一个递增数列:
 
那么
 
 
 (若极限存在)

推广编辑

一个稍弱的密度定义是 上Banach密度英语:upper Banach density)。对于 ,定义 为:

 

性质编辑

  • 若对于集合 存在 ,则对于其补集  成立。
  •    均存在,则 成立。
  • 自然数集的自然密度为 ,即 成立。
  • 对于自然数集的任意有限子集 , 有 成立。
  • 对于平方数集 ,有 成立。
  • 对于偶数 ,有 成立。更一般地,对于等差级数组成的集合 ,有 成立。
  • 对于质数集合 ,由质数定理知: 成立。
  • 无平方数因数的数的集合的自然密度为 。更一般地,无 次方因数的数的集合的自然密度为 ,其中 黎曼ζ函數
  • 过剩数集合具有非零的自然密度[3]。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间[4]
  • 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合,即 ,不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。
其上自然密度为:
 
而其下自然密度为:
 
  • 同样,所有十进制表示法中以 开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为 而其下自然密度为 [1]
  • 对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列英语equidistributed sequence ,定义单调集族 :
 
则依定义有:
对于任意的  

其他密度函数编辑

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如,集合 对数密度英语:logarithmic density)可以定义为:

 (若极限存在)

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

相关条目编辑

参考编辑

参考文献编辑

  1. ^ 1.0 1.1 Tenenbaum (1995) p.261
  2. ^ Nathanson (2000) pp.256–257
  3. ^ Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001. 
  4. ^ Deléglise, Marc. Bounds for the density of abundant integers. Experimental Mathematics. 1998, 7 (2): 137–143. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127. doi:10.1080/10586458.1998.10504363.