RLC电路

串联RLC电路：电阻、电感和电容

RLC电路是一种由电阻（R）、电感（L）、电容（C）组成的电路结构。LC电路是其简单的例子。RLC电路也被称为二阶电路，电路中的电压或者电流是一個二阶微分方程的解，而其係數是由电路结构决定。

若电路元件都视为线性元件时，一个RLC电路可以被视作电子谐波振荡器。

这种电路的固有频率一般表示为：（单位：赫兹Hz）

$f_{c}={1 \over 2\pi {\sqrt {LC}}}$

RLC电路常用來作带通滤波器或带阻滤波器，其Q因子可以由下式得到：

$Q={f_{c} \over B_{W}}={2\pi f_{c}L \over R}={1 \over {\sqrt {R^{2}C/L}}}$

RLC电路的组成结构一般有两种：分別是串联型及并联型。

动画演示了LC电路（无电阻的RLC电路）的工作。电荷在电容器极板和电感之间来回传递。能量在电容器的电场 (E) 和电感的磁场 (B) 之间来回振荡。 RLC电路工作情况类似，不同之处在于，由于电路中的电阻，随着时间变化振荡电流衰减至零。

RLC串聯電路

圖 1. RLC串聯電路
V - 電源電壓
I - 電路電流
R - 電阻
L - 電感
C - 電容

在此电路中，三个元件均与电压以串联方式连接。其主要的微分方程可将三个元件的本构方程代入基尔霍夫电压定律（KVL）获得。由基尔霍夫电压定律：

$v_{R}+v_{L}+v_{C}=v(t)\,$

其中$\textstyle v_{R},v_{L},v_{C}$分别为R、L、C两端的电压，$\textstyle v(t)$为随时间变化的电源的电压。将本构方程代入得到：

$RI(t)+L{{dI} \over {dt}}+{1 \over C}\int _{-\infty }^{\tau =t}I(\tau )\,d\tau =v(t)$

在电源电压为常数的情况下，对上式求导，并且除以L，得到以下二阶微分方程：

${{d^{2}I(t)} \over {dt^{2}}}+{R \over L}{{dI(t)} \over {dt}}+{1 \over {LC}}I(t)=0$

此方程可以写成更常用的形式：

${{d^{2}I(t)} \over {dt^{2}}}+2\alpha {{dI(t)} \over {dt}}+{\omega _{0}}^{2}I(t)=0$

$\alpha \,$称为“衰减量”，用于衡量当移除外部輸入后，此电路的瞬态响应衰减的速率。$\omega _{0}\,$为角共振频率。此二系数由下式给出：

$\alpha ={R \over 2L}$ ， $\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

阻尼系数$\zeta$是另一个常用的参数，定义为$\alpha \,$与$\omega _{0}\,$的比值：

$\zeta ={\frac {\alpha }{\omega _{0}}}$

阻尼系数也可以由R、L、C求得：

$\zeta ={R \over 2}{\sqrt {C \over L}}$

瞬态响应

图中显示了串联RLC电路的欠阻尼和过阻尼响应。临界阻尼是用粗红色曲线画出的。这些作图统一都是在 L = 1, C = 1 且 $\scriptstyle \omega _{0}=1\,$ 情况下。

根据不同的阻尼系数$\zeta$的值，该微分方程的解法有三种不同的情况，分别为：欠阻尼（$\scriptstyle \zeta <1\,$），过阻尼（$\scriptstyle \zeta >1\,$），以及临界阻尼（$\scriptstyle \zeta =1\,$）。该微分方程的特征方程为：

$s^{2}+2\alpha s+{\omega _{0}}^{2}=0$

该方程的根为：

$s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}$

$s_{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}$

该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加：

$i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}$

系数A₁以及 A₂由具体问题的边界条件给出。

过阻尼响应

过阻尼响应（$\scriptstyle \zeta >1\,$）为：

$i(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}})t}+A_{2}e^{-\omega _{0}(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}})t}$

过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。

欠阻尼响应

欠阻尼响应（$\scriptstyle \zeta <1\,$）为：

$i(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{d}t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{d}t)\,$

通过三角恒等式，这两个三角函数可用一个有相位的正弦函数表达：

$i(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{d}t+\varphi )\,$

欠阻尼响应是一个频率为$\omega _{d}\,$的衰减的振荡。振荡衰减的速率为$\alpha$。指数里的$\alpha$描述了振荡的包络函数。B₁ 以及B₂ （或第二种形式中的 B₃ 以及相位差 $\varphi \,$）为任意常数，由边界条件确定。频率$\omega _{d}\,$由下式给出：

$\omega _{d}={\sqrt {{\omega _{0}}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$

这就是所谓的阻尼共振频率或阻尼固有频率。它是电路在无外部源驱动时自然振动的频率。谐振频率$\omega _{0}\,$是电路在有外部源驱动时的谐振频率，为了便于区分常称作无阻尼谐振频率。

临界阻尼响应

临界阻尼响应（$\scriptstyle \zeta =1\,$）为：

$i(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\,$

拉普拉斯域

可以利用拉普拉斯轉換分析RLC串聯電路的交流暫態及穩態行為。若上述電壓源產生的波形，在拉普拉斯轉換後為V(s)（其中s為複頻率$s=\sigma +i\omega \,$），則在拉普拉斯域中應用基爾霍夫電壓定律：

$V(s)=I(s)\left(R+Ls+{\frac {1}{Cs}}\right)$

其中I(s)為拉普拉斯轉換後的電流，求解I(s)：

$I(s)={\frac {1}{R+Ls+{\frac {1}{Cs}}}}V(s)$

在重新整理後，可以得到下式：

$I(s)={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V(s)$

拉普拉斯导纳

求解拉普拉斯导纳Y(s)：

$Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}$

可以利用以上章節定義的參數α及ω_o來簡化上式，可得：

$Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+2\alpha s+{\omega _{0}}^{2}\right)}}$

極點和零點

Y(s) 的零点是使得$Y(s)=0$ 的s：

$s=0\,$     及     $|s|\rightarrow \infty$

Y(s) 的极点是使得$Y(s)\rightarrow \infty$ 的s，求解二次方程，可得：

$s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}$

Y(s)的极點即為前文中提到微分方程之特徵方程的根$s_{1}$及$s_{2}$。

正弦稳态

正弦稳态可通过令$s=j\omega$来表示，其中$j$为虚数单位。

将此代入上面方程的幅值中：

$\displaystyle |Y(s=j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}}.$

以 ω 为变量的电流的函数为

$\displaystyle |I(j\omega )|=|Y(j\omega )||V(j\omega )|.\,$

有一个峰值$|I(j\omega )|$。在此特殊情况下，这个峰值中的 ω 等于无阻尼固有谐振频率：

$\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.$

RLC並聯電路

圖 5. RLC 並聯電路
V - 電源電壓
I - 電路電流
R - 電阻
L - 電感
C - 電容

RLC並聯電路的特性可以利用電路的對偶性，將RLC並聯電路視為RLC串聯電路的對偶阻抗來處理，就可以用類似RLC串聯電路的分析方式來分析RLC並聯電路。

RLC並聯電路的衰减量$\alpha \,$可以用下式求得：

$\alpha ={1 \over 2RC}$

而其阻尼系数為：

$\zeta ={1 \over 2R}{\sqrt {L \over C}}$

若不考慮$1/2$的係數，RLC並聯電路的阻尼系数恰好是RLC串聯電路阻尼系数的倒數。

頻域

圖 6. 正弦稳态分析

以R = 1 歐姆、C = 1 法拉、L = 1 亨利、V = 1.0 伏特來進行正規化

將並聯各元件的導納相加，即為此電路的導納：

${1 \over Z}=$  ${1 \over Z_{L}}+{1 \over Z_{C}}+{1 \over Z_{R}}=$  ${1 \over {j\omega L}}+{j\omega C}+{1 \over R}$

電容、電阻及電感並聯後，在共振頻率的阻抗為最大值，和電容、電阻及電感串聯的情形恰好相反，RLC並聯電路是抗共振電路（antiresonator）。

右圖中可以看出若用定電壓驅動時，電流的頻率響應在共振頻率$\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$處有最小值。若用定電流驅動，電壓的頻率響應在共振頻率處有最大值，和RLC串聯電路中，電流的頻率響應圖形類似。

其他构造

图7 RLC并联电路，电阻和电感串联

图8 RLC串联电路，电阻和电容并联

如图7所示，电阻与电感串联的并联LC电路是有必要考虑到线圈卷线的电阻时经常遇到的一种拓扑结构。并联LC电路经常用于带通滤波中，而 Q 因子主要由此电阻决定。电路的谐振频率为，

$\omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}}}$

这是电路的谐振频率，定义为导纳虚部为零时的频率。在特征方程的一般形式（此电路与之前的相同）中出现的频率

$s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0$

不是相同的频率。在这种情况下是固有的无阻尼谐振频率

$\omega '_{0}={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

阻抗幅值最大时的频率$\omega _{m}$为，

$\omega _{m}=\omega '_{0}{\sqrt {{\frac {-1}{Q_{L}^{2}}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{Q_{L}^{2}}}}}}}$

其中$Q_{L}={\frac {\omega '_{0}L}{R}}$是线圈的品质因数。这可以下式很好地近似

$\omega _{m}\approx \omega '_{0}{\sqrt {1-{\frac {1}{2Q_{L}^{4}}}}}$

此外，精确的最大阻抗幅值由下式给出，

$|Z|_{max}=RQ_{L}^{2}{\sqrt {\frac {1}{2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2}}-2Q_{L}^{2}-1}}}$.

$Q_{L}$值比1大时，可以用下式很好地近似

$|Z|_{max}\approx {RQ_{L}^{2}}$.

同样，电阻与电容并联的串联LC电路可用于有耗介质的电容器。这种构造如图8所示。在这种情况下谐振频率（阻抗的虚部为零时的频率），由下式给出，

$\omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {1}{(RC)^{2}}}}}$

而阻抗幅值最大时的频率$\omega _{m}$为

$\omega _{m}=\omega '_{0}{\sqrt {{\frac {-1}{Q_{C}^{2}}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{Q_{C}^{2}}}}}}}$

其中$Q_{C}=\omega '_{0}{R}{C}$

参见

• RC电路
• RL电路
• LC电路

参考文献

来源

• Anant Agarwal, Jeffrey H. Lang, Foundations of analog and digital electronic circuits, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 1-55860-735-8.
• J. L. Humar, Dynamics of structures, Taylor & Francis, 2002 ISBN 90-5809-245-3.
• J. David Irwin, Basic engineering circuit analysis, Wiley, 2006 ISBN 7-302-13021-3.
• Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic compatibility handbook, CRC Press, 2004 ISBN 0-8493-2087-9.
• James William Nilsson, Susan A. Riedel, Electric circuits, Prentice Hall, 2008 ISBN 0-13-198925-1.

外部連結

• 串聯RLC交流電路Java模擬