RLC电路
RLC电路是一种由电阻(R)、电感(L)、电容(C)组成的电路结构。LC电路是其简单的例子。RLC电路也被称为二阶电路,电路中的电压或者电流是一個二阶微分方程的解,而其係數是由电路结构决定。
若电路元件都视为线性元件时,一个RLC电路可以被视作电子谐波振荡器。
这种电路的固有频率一般表示为:(单位:赫兹Hz)
RLC电路常用來作带通滤波器或带阻滤波器,其Q因子可以由下式得到:
RLC电路的组成结构一般有两种:分別是串联型及并联型。
RLC串聯電路编辑
在此电路中,三个元件均与电压以串联方式连接。其主要的微分方程可将三个元件的本构方程代入基尔霍夫电压定律(KVL)获得。由基尔霍夫电压定律:
其中 分别为R、L、C两端的电压, 为随时间变化的电源的电压。将本构方程代入得到:
在电源电压为常数的情况下,对上式求导,并且除以L,得到以下二阶微分方程:
此方程可以写成更常用的形式:
称为“衰减量”,用于衡量当移除外部輸入后,此电路的瞬态响应衰减的速率。 为角共振频率。[1]此二系数由下式给出:[2]
- ,
阻尼系数 是另一个常用的参数,定义为 与 的比值:
阻尼系数也可以由R、L、C求得:
瞬态响应编辑
根据不同的阻尼系数 的值,该微分方程的解法有三种不同的情况,分别为:欠阻尼( ),过阻尼( ),以及临界阻尼( )。该微分方程的特征方程为:
该方程的根为:
该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加:
系数A1以及 A2由具体问题的边界条件给出。
过阻尼响应编辑
过阻尼响应( )为:[3]
过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。[4]
欠阻尼响应编辑
欠阻尼响应( )为:[5]
通过三角恒等式,这两个三角函数可用一个有相位的正弦函数表达:[6]
欠阻尼响应是一个频率为 的衰减的振荡。振荡衰减的速率为 。指数里的 描述了振荡的包络函数。B1 以及B2 (或第二种形式中的 B3 以及相位差 )为任意常数,由边界条件确定。频率 由下式给出:[5]
这就是所谓的阻尼共振频率或阻尼固有频率。它是电路在无外部源驱动时自然振动的频率。谐振频率 是电路在有外部源驱动时的谐振频率,为了便于区分常称作无阻尼谐振频率。[7]
临界阻尼响应编辑
临界阻尼响应( )为:[8]
拉普拉斯域编辑
可以利用拉普拉斯轉換分析RLC串聯電路的交流暫態及穩態行為[9]。若上述電壓源產生的波形,在拉普拉斯轉換後為V(s)(其中s為複頻率 ),則在拉普拉斯域中應用基爾霍夫電壓定律:
其中I(s)為拉普拉斯轉換後的電流,求解I(s):
在重新整理後,可以得到下式:
拉普拉斯导纳编辑
求解拉普拉斯导纳Y(s):
可以利用以上章節定義的參數α及ωo來簡化上式,可得:
極點和零點编辑
Y(s) 的零点是使得 的s:
- 及
Y(s) 的极点是使得 的s,求解二次方程,可得:
Y(s)的极點即為前文中提到微分方程之特徵方程的根 及 。
正弦稳态编辑
正弦稳态可通过令 的相量形式(the phasor)来表示,其中 为虚数单位。
将此代入上面方程的幅值中:
以 ω 为变量的电流的函数为
有一个峰值 。在此特殊情况下,这个峰值中的 ω 等于无阻尼固有谐振频率:[10]
RLC並聯電路编辑
RLC並聯電路的特性可以利用電路的對偶性,將RLC並聯電路視為RLC串聯電路的對偶阻抗來處理,就可以用類似RLC串聯電路的分析方式來分析RLC並聯電路。
RLC並聯電路的衰减量 可以用下式求得[11]:
而其阻尼系数為:
若不考慮 的係數,RLC並聯電路的阻尼系数恰好是RLC串聯電路阻尼系数的倒數。
頻域编辑
將並聯各元件的導納相加,即為此電路的導納:
電容、電阻及電感並聯後,在共振頻率的阻抗為最大值,和電容、電阻及電感串聯的情形恰好相反,RLC並聯電路是抗共振電路(antiresonator)。
右圖中可以看出若用定電壓驅動時,電流的頻率響應在共振頻率 處有最小值。若用定電流驅動,電壓的頻率響應在共振頻率處有最大值,和RLC串聯電路中,電流的頻率響應圖形類似。
其他构造编辑
如图7所示,电阻与电感串联的并联LC电路是有必要考虑到线圈卷线的电阻时经常遇到的一种拓扑结构。并联LC电路经常用于带通滤波中,而 Q 因子主要由此电阻决定。电路的谐振频率为,[12]
这是电路的谐振频率,定义为导纳虚部为零时的频率。在特征方程的一般形式(此电路与之前的相同)中出现的频率
不是相同的频率。在这种情况下是固有的无阻尼谐振频率[13]
阻抗幅值最大时的频率 为,[14]
此外,精确的最大阻抗幅值由下式给出,[14]
- .
值比1大时,可以用下式很好地近似[14]
- .
同样,电阻与电容并联的串联LC电路可用于有耗介质的电容器。这种构造如图8所示。在这种情况下谐振频率(阻抗的虚部为零时的频率),由下式给出,[15]
而阻抗幅值最大时的频率 为
其中
参见编辑
参考文献编辑
引用编辑
- ^ Nilsson and Riedel, p.308.
- ^ Agarwal and Lang, p.641.
- ^ Irwin, p.532.
- ^ Agarwal and Lang, p.648.
- ^ 5.0 5.1 Nilsson and Riedel, p.295.
- ^ Humar, pp.223-224.
- ^ Agarwal and Lang, p. 692.
- ^ Nilsson and Riedel, p.303.
- ^ 本章節是Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, Integral transforms and their applications, 2nd ed. Chapman & Hall/CRC, 2007, ISBN 1-58488-575-0,198-202頁的Example 4.2.13為基礎,不過為了和本文用的符號一致,有修改其中部份標示
- ^ Kumar and Kumar, Electric Circuits & Networks, p. 464.
- ^ Nilsson and Riedel, p.286.
- ^ Kaiser, pp. 5.26–5.27.
- ^ Agarwal and Lang, p. 805.
- ^ 14.0 14.1 14.2 14.3 Cartwright, K. V.; Joseph, E. and Kaminsky, E. J. Finding the exact maximum impedance resonant frequency of a practical parallel resonant circuit without calculus (PDF). The Technology Interface International Journal. 2010, 11 (1): 26–34 [2015-02-16]. (原始内容 (PDF)存档于2013-12-03).
- ^ Kaiser, pp. 5.25–5.26.
来源编辑
- Anant Agarwal, Jeffrey H. Lang, Foundations of analog and digital electronic circuits, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 1-55860-735-8.
- J. L. Humar, Dynamics of structures, Taylor & Francis, 2002 ISBN 90-5809-245-3.
- J. David Irwin, Basic engineering circuit analysis, Wiley, 2006 ISBN 7-302-13021-3.
- Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic compatibility handbook, CRC Press, 2004 ISBN 0-8493-2087-9.
- James William Nilsson, Susan A. Riedel, Electric circuits, Prentice Hall, 2008 ISBN 0-13-198925-1.