维格纳半圆分布

维格纳半圆分布是一以物理学家尤金·维格纳(Eugene Wigner)命名的机率分布。其机率密度函数(Probability Distribution Function)系一存在[-R,R]区间内的半圆形分布、以(0,0)为中心点并经过适当规范化(Normalized)的结果，因而其实其函数图型是一半椭圆形。

维格纳半圆分布

概率密度函数
累积分布函数
参数	$R>0\!$ radius (real)
值域	$x\in [-R;+R]\!$
概率密度函数	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!$
累积分布函数	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}\!$ for $-R\leq x\leq R$
期望值	$0\,$
中位数	$0\,$
众数	$0\,$
方差	${\frac {R^{2}}{4}}\!$
偏度	$0\,$
峰度	$-1\,$
熵	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,$
矩生成函数	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}$
特征函数	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}$

$f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,$

for −R ≤ x ≤ R, and f(x) = 0 if R < |x|.

此机率分布可做为一大小接近无限的随机对称矩阵，其特征值(Eigenvalues) 的分布限制范围。

它是一个经过缩放的Β分布(Beta Distribution)。精确而言：当Y值有B分布(α = β = 3/2)时，则其X = 2RY – R值具备上述分布特性。

性质

第二种切比雪夫多项式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多项式 (Orthogonal Polynomial) 。对于正整数n，此分布之第2n项动差(Moment)为：

$E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,$

此处 X是一随机变数，而C_n是第n项 卡塔兰数(Catalan number)：

$C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n},\,$

因此若R=2，此分布之动差为卡塔兰数。

(因为对称性的关系，所有奇数项之动差皆为0)

若以 $x=R\cos(\theta )$ 替代式子动差生成函数(Moment generating Function)内的x，则我们可以发现：

$M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta$

并得以此式子得出(详见Abramowitz and Stegun §9.6.18) （页面存档备份，存于互联网档案馆）：

$M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}$

式中的 $I_{1}(z)$ 是一变异贝索函数(Modified bessel functions)。

同样地，其特征方程式：

$\varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}$

其中的 $J_{1}(z)$ 是贝索函数。( 详见 Abramowitz and Stegun §9.1.20) （页面存档备份，存于互联网档案馆）。若取一有限且接近0的实数 $R$，则维格纳半圆分布成为一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)

$\left\{\left(r^{2}-x^{2}\right)f'(x)+xf(x)=0,\ f(1)={\frac {2{\sqrt {r^{2}-1}}}{\pi r^{2}}}\right\}$

与非古典机率的关系

在 非古典机率 (free probability) 理论中，维格纳半圆分布有著如同常态分布 (Normal Distribution) 在古典机率中一样的角色。 也就是说，在非古典机率中，累积量 (Cumulant) 的角色被"自由累积量" (free Cumulant、待翻译)。

参看

• The W.s.d. is the limit of the Kesten–McKay distributions, as the parameter d tends to infinity.
• In number-theoretic literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See Sato–Tate conjecture.
• Marchenko–Pastur distribution or Free Poisson distribution

参考

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

相关连结

• Eric W. Weisstein et al., Wigner's semicircle （页面存档备份，存于互联网档案馆）