矩生成函數

动差又被称为矩。隨機變數X 的動差生成函數或矩母函数（moment-generating function）定義為：

M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R}

前提是这个期望值存在。

计算编辑

如果X具有连续概率密度函数f(x)，则它的动差生成函数由下式给出：

M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x

=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x

=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots

其中 $m_{i}$ 是第i个矩。 $M_{X}(-t)$ 是f(x)的双边拉普拉斯变换。

不管概率分布是不是连续，动差生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：

M_{X}(t)=\int _{0}^{1}e^{tx}\,dF(x)

如果X₁、X₂、……、X_n是一系列独立的随机变量，且

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}

其中a_i是常数，则S_n的概率密度函数是每一个X_i的概率密度函数的卷积，而S_n的动差生成函数则为：

M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)

　。

对于分量为实数的向量值随机变量X，动差生成函数为：

M_{X}(\mathbf {t} )=\operatorname {E} \left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)

其中t是一个向量， $\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle$ 是数量积。

只要动差生成函数在t = 0周围的开区间存在，第n个矩为：

\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}M_{X}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}

　。

如果动差生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与动差生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。

累积量生成函数是动差生成函数的对数。