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动差又被称为隨機變數X動差生成函數矩母函数moment-generating function)定義為:

前提是这个期望值存在。

计算编辑

如果X具有连续概率密度函数f(x),则它的动差生成函数由下式给出:

 
 
 

其中 是第i f(x)的双边拉普拉斯变换

不管概率分布是不是连续,动差生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出:

 

其中F累积分布函数

如果X1X2、……、Xn是一系列独立的随机变量,且

 

其中ai是常数,则Sn的概率密度函数是每一个Xi的概率密度函数的卷积,而Sn的动差生成函数则为:

  。

对于分量为实数向量值随机变量X,动差生成函数为:

 

其中t是一个向量, 数量积

意义编辑

只要动差生成函数在t = 0周围的开区间存在,第n个矩为:

  。

如果动差生成函数在这个区间内是有限的,则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与动差生成函数有关,包括特征函数以及概率生成函数

累积量生成函数是动差生成函数的对数。

参见编辑