動差母函數(moment-generating function)又稱動差生成函數,矩亦被稱作动差。
隨機變數X 的動差母函數定義為:
前提是这个期望值存在。
如果X具有连续概率密度函数f(x),则它的動差母函數由下式给出:
其中 m i {\displaystyle m_{i}} 是第i个動差。 M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)} 是f(x)的双边拉普拉斯变换。
不管概率分布是不是连续,动差生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出:
其中F是累积分布函数。
如果X1、X2、……、Xn是一系列独立的随机变量,且
其中ai是常数,则Sn的概率密度函数是每一个Xi的概率密度函数的卷积,而Sn的动差生成函数则为:
对于分量为实数的向量值随机变量X,动差生成函数为:
其中t是一个向量, ⟨ t , X ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle } 是数量积。
只要动差生成函数在t = 0周围的开区间存在,第n个矩为:
如果动差生成函数在这个区间内是有限的,则它唯一决定了一个概率分布。
一些其它在概率论中常见的积分变换也与动差生成函数有关,包括特征函数以及概率生成函数。
累积量生成函数是动差生成函数的对数。