群論中,乒乓引理(ping-pong lemma)給出了一個充分條件,保證一個中數個子群生成的群是這些子群的自由積

歷史

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使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期,通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用[1],他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中[2],證明著名的蒂茨兩擇性(Tits alternative)結果,一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何有限生成線性群,或是一個逼肖可解群(virtually solvable group),或是包含一個秩2的自由子群。乒乓引理及其引申結果廣泛應用於幾何拓撲學幾何群論

定理敍述

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G作用集合X上,H1H2G的非平凡子群,HH1H2生成的群。若X有兩個不交非空子集X1X2,使得

  • 對所有 ,都有 
  • 對所有 ,都有 

HH1H2自由積,即 ,或者 ,而H二面體群

證明

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w是用H1H2的元素寫出的非空簡約。若 ,其中  ,則

 

 。同上得 

H1H2不都等於2,不失一般性,假設 。若 ,取 ,則 ,故由上可知

 

 。若 ,取 ,則 ,同上可得 ,故 。因此得出 

 ,令  。從上可知若有以a, b寫出的非空簡約字w等於1,則w只可能是  ,故對某些數n > 0有 。取其最小者的值為n,則H二面體群 。若無如此簡約字w,則 

推廣

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乒乓引理可以推廣至數個子群的情形:

G作用集合X上。又設H1, H2, ... , HkG的非平凡子群,且當中至少一個的不小於3。若X兩兩不交的非空子集X1, X2, ... , Xk,使得當 時,對所有 ,都有 。則H1, H2, ... , Hk所生成的群是其自由積,即

 

這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。

應用例子

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矩陣  在特殊線性群 中生成的子群是秩2的自由群

證明

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 線性變換作用在平面 上。 設這兩個矩陣各自生成子群

 
 

又設平面的兩個不交子集為

 
 

H1, H2同構於無限循環群。因為H1, H2, X1, X2適合乒乓引理的條件,由乒乓引理得出H1, H2生成的群為其自由積,而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群

參考

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  • Lyndon, Roger; Schupp, Paul. Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5. 
  1. ^ La Harpe, Pierre de. Topics in Geometric Group Theory. Chicago: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8. 
  2. ^ J. Tits. Free subgroups in linear groups.[永久失效連結] Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270