克羅內克δ函數

在數學中,克羅內克函數(又稱克羅內克δ函數、克羅內克δ) 是一個二元函數,得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函數的自變量(輸入值)一般是兩個整數,如果兩者相等,則其輸出值為1,否則為0。

克羅內克函數的值一般簡寫為

克羅內克函數和狄拉克δ函數都使用δ作為符號,但是克羅內克δ用的時候帶兩個下標,而狄拉克δ函數則只有一個變量。

其它記法

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另一種標記方法是使用艾佛森括號(得名於肯尼斯·艾佛森):

 

同時,當一個變量為0時,常常會被略去,記號變為  

 

線性代數中,克羅內克函數可以被看做一個張量,寫作  

數字信號處理

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衝激函數

類似的,在數字信號處理中,與克羅內克函數等價的概念是變量為   (整數)的函數:

 

這個函數代表着一個衝激單位衝激。當一個數字處理單元的輸入為單位衝激時,輸出的函數被稱為此單元的衝激響應

性質

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克羅內克函數有篩選性:對任意  

 

如果將整數看做一個裝備了計數測度測度空間,那麼這個性質和狄拉克δ函數的定義是一樣的:

 

實際上,狄拉克δ函數是根據克羅內克函數而得名的。在信號處理中,兩者是同一個概念在不同的上下文中的表現。一般設定   為連續的情況(狄拉克函數) ,而使用i, j, k, l, m, and n 等變量一般是在 離散的情況下(克羅內克函數)。

線性代數中的應用

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線性代數中,單位矩陣可以寫作  

在看做是張量時(克羅內克張量),可以寫作  

這個(1,1)向量表示:

  • 作為線性映射的單位矩陣。
  • 跡數
  • 內積  
  • 映射   ,將數量乘積表示為外積的形式。

廣義克羅內克函數

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定義廣義克羅內克函數  矩陣的行列式,以方程式表達為[1]

 

其中,  是個張量函數,定義為  

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式

  •  
  •  
  •  
  •  
其中,  列維-奇維塔符號
  •  
  •  
  •  

其中,   階張量。

積分表示

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對任意的整數   ,運用標準的留數計算,可以將克羅內克函數表示成積分的形式:

 

其中積分的路徑是圍繞零點逆時針進行。

這個表示方式與下面的另一形式等價:

 

參見

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參考文獻

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  1. ^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics, Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001 [2010-04-25], ISBN 1-55369-133-4, (原始內容存檔於2020-01-06)