多面體半形
多面體半形,為一類型的射影多面體,同時也是抽象多面體。其可透過將點對稱的球面多面體進行對映映射後得到。多面體半形的面數只有原多面體的一半,而且投影平面上位於邊緣的對角頂點、對角邊、對角面皆視為相同幾何元素。存在半形體的多面體的必要條件為其原像須具備點對稱的特性,而向正四面體不具備點對稱的特性[1],因此正四面體不存在半形體。
性質
編輯若兩多面體互為對偶多面體,則其對應的半形體也互為對偶多面體。例如立方體與正八面體互為對偶多面體,則立方體半形與正八面體半形也互為對偶多面體。多面體的半形體皆為不可定向圖形。[2]
種類
編輯正多面體半形
編輯除了正四面體外,其他正多面體都存在半形體[3][4][5][6]。
立方體半形 |
八面體半形 |
十二面體半形 |
二十面體半形 |
均勻多面體半形
編輯 截半立方體半形(原像:截半立方體)[7] |
菱形十二面體半形(原像:菱形十二面體) |
截角二十面體半形(原像:截角二十面體) |
多面形半形
編輯多面形是一種球面多面體,由球面的一點與其對蹠點相連接而成,並將球面分成多個部分。若球面被分割的數量為偶數,則該多面形存在半形體。例如二面形、四面形、六面形等多面形皆存在半形體。[9]
前幾個多面形半形性質如下:
n | 名稱 | 施萊夫利符號 | 面數 | 邊數 | 頂點數 | 原始立體 | 原始立體的元素數 f:面, e:邊, v:頂點 |
對偶多面體 | 皮特里對偶 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 二面形半形 | {2,2}1[9] | 1 | 1 | 1 | 二面形 | f:2, e:2, v:2 | (自身對偶) | 一角形二面體 (f:2, e:1, v:1)[10] |
4 | 四面形半形 | {2,4}4[9] | 2 | 2 | 1 | 四面形 | f:4, e:4, v:2 | 正方形二面體半形 | {4,4}1,0 (f:1, e:2, v:1)[11] |
6 | 六面形半形 | {2,6}3[9] | 3 | 3 | 1 | 六面形 | f:6, e:6, v:2 | 六邊形二面體半形 | {3,6}1,1 (f:2, e:3, v:1)[12] |
8 | 八面形半形 | {2,8}8[9] | 4 | 4 | 1 | 八面形 | f:8, e:8, v:2 | 八邊形二面體半形 | S2:{8,8} (f:1, e:4, v:1)[13] |
2n | 2n面形半形 | n | n | 1 | 2n面形 | f:2n, e:2n, v:2 | 2n邊形二面體半形 | (不一定) |
多邊形二面體半形
編輯多邊形二面體是指多邊形在三維空間中不會僅有一個面,其正面與反面會成對出現,因此稱為多邊形二面體。而成對出現的面(正面與反面)則滿足多面體半形的定義,僅要原始多邊形具備點對稱特性及可取半形,例如正方形二面體可以取半形體,成為正方形二面體半形。[9][14]
多邊形二面體半形是一種多面體半形,屬於抽象正多面體,有著多邊形二面體一半的面。其對應於圖論中的循環圖。[15]僅有偶數邊數的多邊形二面體可以存在多面體半形。2p邊形二面體半形具有1個面、p條邊和p個頂點,虧格為1,在施萊夫利符號中可以用{2p,2}/2表示。[9][15]
前幾個多邊形二面體半形性質如下:
n | 名稱 | 施萊夫利符號 | 面數 | 邊數 | 頂點數 | 原始立體 | 原始立體的元素數 f:面, e:邊, v:頂點 |
對偶多面體 | 皮特里對偶 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 正方形二面體半形 |
{4,2}4[9] | 1 | 2 | 2 | 正方形二面體 | f:2, e:4, v:4 | 四面形半形[16] | (自身皮特里對偶)[16] |
6 | 六邊形二面體半形 |
{6,2}3[9] | 1 | 3 | 3 | 六邊形二面體 | f:2, e:6, v:6 | 六面形半形 | 三角形二面體 (f:2, e:3, v:3)[17] |
8 | 八邊形二面體半形 |
{8,2}8[9] | 1 | 4 | 4 | 八邊形二面體 | f:2, e:8, v:8 | 八面形半形[18] | (自身皮特里對偶)[18] |
參考文獻
編輯- ^ Henry Cohn. A tight squeeze. Mathematical physics, Nature. 2009, (460): 801–802 [2021-07-31]. doi:10.1038/460801a. (原始內容存檔於2021-07-31).
- ^ Carlo H. Séquin, Tubular Sculptures, CS Division, University of California, Berkeley, CA, 2021-07 [2021-07-31], (原始內容存檔於2021-07-31)
- ^ The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2019-05-02).
- ^ The hemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2016-03-04).
- ^ The hemidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2017-03-16).
- ^ The hemi-icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2016-08-29).
- ^ 7.0 7.1 The hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2021-01-26).
- ^ The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2021-08-02).
- ^ 9.00 9.01 9.02 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07 9.08 9.09 Regular maps in the non-orientable surface of genus 1. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. (原始內容存檔於2019-12-28).
- ^ The dimonogon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2021-07-31).
- ^ {4,4}(1,0). Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ {3,6}(1,1). Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ S2:{8,8}. Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ N.S.Wedd. Regular Maps in the Projective Plane. Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2020-01-28).
- ^ 15.0 15.1 Séquin, Carlo. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. (原始內容存檔 (PDF)於2015-09-23).
- ^ 16.0 16.1 The hemi-di-square. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2020-02-01).
- ^ The hemi-di-hexagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2016-03-14).
- ^ 18.0 18.1 The hemi-di-octagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2016-03-14).