正割
性質
奇偶性
定義域
到達域
周期
(360°)
特定值
當x=0 1
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值 +∞
最小值 -∞
其他性質
漸近線
x=180°k+90°
無實根
臨界點
180°k
不動點 當x軸為弧度時:
-2.07393280909121...[註 1]
(-118.827596954637699...°)
-4.487669603341...[註 2]
(-257.12452812059255...°)
4.9171859252871...[註 3]
(281.734000600083215...°)
7.72415319239641...[註 4]
(442.5613782368157...°)
...
當x軸為角度時:
-90.6321919494646472...°
-269.787625875998245...°
89.358798727133722...°
270.212040552238203...°
k是一個整數

正割(Secant,)是三角函數的一種。它的定義域是不含(或180°k+90°,其中為整數)的整個實數集值域絕對值大於等於實數。它是周期函數,其最小正周期(360°)。

正割三角函數的正函數(正弦正切正割正矢)之一,所以在360°k)到360°k+90°)的區間之間,函數是遞增的,另外正割函數和餘弦函數互為倒數

單位圓上,正割函數位於割線上,因此將此函數命名為正割函數。

和其他三角函數一樣,正割函數一樣可以擴展到複數

符號史

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正割的數學符號為 ,出自英文secant。該符號最早由數學家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角學》中所用。

定義

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直角三角形中

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直角三角形, 為直角, 的角度為  , 對於 而言,a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

直角三角形中,一個銳角 正割定義為它的斜邊與鄰邊的比值,也就是:

 

可以發現其定義和餘弦函數互為倒數

直角坐標系中

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 是平面直角坐標系xOy中的一個象限角 是角的終邊上一點, 是P到原點O的距離,則 的正割定義為:

 

單位圓定義

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單位圓

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點,同x軸正半部分得到一個角 ,並與單位圓相交。這個交點的y坐標等於 。在這個圖形中的三角形確保了這個公式;半徑等於斜邊並有長度1,所以有了 。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於 (360°)或小於 (-360°)的角度,簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下,正割變成了周期為 (360°)的周期函數

 

對於任何角度 和任何整數 

與其他函數定義

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正割函數餘弦函數互為倒數

即:[1]

 

級數定義

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正割也能使用泰勒級數來定義:

 

其中 歐拉數

另外,我們也有

 

微分方程定義

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指數定義

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恆等式

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用其它三角函數來表示正割

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函數            
             

和差角公式

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巴羅的正割積分

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艾薩克·巴羅在1670年提出正割的積分

 

註釋

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  1. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英語). 
  2. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英語). 
  3. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英語). 
  4. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英語). 

參考文獻

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Secant. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 

參見

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