解析解,又稱為閉式解(英語:Analytic expression),是可以用解析表達式來表達的解。 在數學上,如果一個方程或者方程組存在的某些解,是由有限次常見運算的組合給出的形式,則稱該方程存在解析解。二次方程的根就是一個解析解的典型例子。在低年級數學的教學當中,解析解也被稱為公式解

當解析解不存在時,比如五次以及更高次的代數方程,則該方程只能用數值分析的方法求解近似值。大多數偏微分方程,尤其是非線性偏微分方程,都只有數值解

解析表達式的準確含義依賴於何種運算稱為常見運算或常見函數。傳統上,只有初等函數被看作常見函數[註 1]無窮級數序列的極限連分數等都不被看作常見函數。按這種定義,許多累積分布函數無法寫成解析表達式。但如果把特殊函數,比如誤差函數gamma函數也看作常見函數,則累積分布函數可以寫成解析表達式。

在計算機應用中,這些特殊函數因為大多有現成的數值法實現,它們通常被看作常見運算或常見函數。實際上,在計算機的計算過程中,多數基本函數都是用數值法計算的,所以所謂的基本函數和特殊函數對計算機而言並無區別。

注釋

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  1. ^ 由於初等函數的運算總是獲得初等函數,因此初等函數的運算集合具有閉包性質,所以又稱此種解為閉式解