常係數齊次線性全微分方程
- ,
它的解取決於以下的特徵方程:
- ,
上式中 取代了: 。
- ,
有以下特徵方程
- ,
它有 四個解,解基為:
- ,
這和以下實數解基相對應:
- ,
如果 (很可能不是實數)是 的根,且 (其中 表示根z的重數),那麼 是微分方程的一個解。這些方程組成了這個微分方程的基.
如果 是實數,那麼我們更喜歡得到實數解。因為非實數 值會引入共軛對, 的情況也類似;將原來各對替換為它們實值部分 和虛值部分 的線性組合.
復根的情況可以應用歐拉公式來解決:
- 例如:對於 .特徵方程是 有以下幾個根 and .因此,解基 為 . y是根若且唯若 ; ,
因為係數是實數
- 我們對複數表達式不太感興趣;
- 我們的基是共軛表達式。
以下線性組合
- 和
- ,
可以給我們關於 的實數表達式。
--Wolfch (留言) 動員令 2012年8月10日 (五) 14:55 (UTC)回覆