常系数齐次线性全微分方程
- ,
它的解取决于以下的特征方程:
- ,
上式中 取代了: 。
- ,
有以下特征方程
- ,
它有 四个解,解基为:
- ,
这和以下实数解基相对应:
- ,
如果 (很可能不是实数)是 的根,且 (其中 表示根z的重数),那么 是微分方程的一个解。这些方程组成了这个微分方程的基.
如果 是实数,那么我们更喜欢得到实数解。因为非实数 值会引入共轭对, 的情况也类似;将原来各对替换为它们实值部分 和虚值部分 的线性组合.
复根的情况可以应用欧拉公式来解决:
- 例如:对于 .特征方程是 有以下几个根 and .因此,解基 为 . y是根当且仅当 ; ,
因为系数是实数
- 我们对复数表达式不太感兴趣;
- 我们的基是共轭表达式。
以下线性组合
- 和
- ,
可以给我们关于 的实数表达式。
--Wolfch (留言) 動員令 2012年8月10日 (五) 14:55 (UTC)回复