讨论:线性微分方程

从微分方程条目中移进来的资料

常系数齐次线性全微分方程

常系数齐次线性全微分方程

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0$，

它的解取决于以下的特征方程：

$F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0$，

上式中$z^{n}\,$取代了: ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\quad \quad (n=1,2,\cdots ,n)$。

$y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0$，

有以下特征方程

$z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0$，

它有$i,-i,1,1\,$四个解，解基为：

$e^{ix},e^{-ix},e^{x},xe^{x}$，

这和以下实数解基相对应：

$\cos x,\sin x,e^{x},xe^{x}$，

如果$z\,$（很可能不是实数）是$F(z)\,$的根，且$n\in \{0,1,\dots ,m-1\}\,$（其中$m\,$表示根z的重数），那么$y=x^{n}e^{zx}\,$是微分方程的一个解。这些方程组成了这个微分方程的基.

如果$A^{i}\,$是实数，那么我们更喜欢得到实数解。因为非实数$z\,$值会引入共轭对, $y$的情况也类似;将原来各对替换为它们实值部分$Re(y)$和虚值部分$Im(y)$的线性组合.

复根的情况可以应用欧拉公式来解决：

• 例如：对于$y''-4y'+5y=0\,$.特征方程是$z^{2}-4z+5=0\,$有以下几个根$2+i$ and $2-i$.因此，解基$\{y_{1},y_{2}\}$为$\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}\,$. y是根当且仅当$y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\,$；$c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$，

因为系数是实数

• 我们对复数表达式不太感兴趣;
• 我们的基是共轭表达式。

以下线性组合

$u_{1}={\mbox{Re}}(y_{1})={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}=e^{2x}\cos(x)\,$和

$u_{2}={\mbox{Im}}(y_{1})={\frac {y_{1}-y_{2}}{2i}}=e^{2x}\sin(x)$，

可以给我们关于$\{u_{1},u_{2}\}\,$的实数表达式。 --Wolfch (留言) _动员令 2012年8月10日 (五) 14:55 (UTC)