运动常数

在经典力学里，对于一个动力系统，随着时间的演进，所有保持不变的物理量都称为运动常数（constant of motion），又称为守恒量。它的作用有点类似运动的约束。可是，运动常数是数学的约束，自然地从运动方程中显现出来，而不是物理的约束；物理的约束会有相应的约束力来维持这约束。常见的运动常数例子有能量、动量、角动量、拉普拉斯-龙格-楞次向量。

应用

运动常数的辨认对于研究物理问题是非常重要的。通过解析运动常数，可以明了许多物体运动的性质，而不需将运动方程的解答完全计算出来。假若一个物体的角动量向量是恒定的，则此物体的轨迹（Trajectory）必包含于一个平面。在有些幸运的状况下，甚至连运动轨迹都可以简单地导引出来；因为它们是运动常数的等值曲面之相交线。举例而言，从潘索椭圆球（Poinsot's ellipsoid）可以观察出，一个净力矩等于零的刚体的旋转，其角速度轨迹是一个圆球（角动量守恒）与一个椭圆球（能量守恒）的相交。用别种方法，这答案或许很不容易导引出。因此，运动常数的辨认是很重要的研究目标。

辨认运动常数的方法

辨认运动常数的方法有好几种：

• 最简单，但最无系统的方法是靠直觉。假设一个物理量是运动常数（或许是从分析实验数据而得到的结论）。经过数学证明，可以论定，在物体的运动过程中，此量的值是保守的。

• 哈密顿-亚可比方程给予一个常用与直接的方法来认明运动常数，特别是当采用正交坐标的哈密顿量，呈现出可辨认的函数形式。

• 另外一种方法应用下述事实：每一个守恒量的量值都相应于一个拉格朗日量的对称性。诺特定理给予一个有系统的方法，从对称性导引出守恒量。例如，拉格朗日量对于时间演化的不变性，造成了能量守恒；拉格朗日量对于空间平移的不变性（平移对称性），造成了动量守恒；拉格朗日量对于空间转动的不变性，造成了角动量守恒。反过来说也是正确的；每一个拉格朗日量的对称性相应于一个运动常数

• 假若一个物理量$A$，既不是显性地含时间，又与哈密顿量的帕松括号等于零，则此物理量是保守的：

${\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+[A,\ H]$。

另外一个很有用的理论，帕松定理阐明：假若$A$与$B$都是运动常数，则它们的帕松括号$[A,\ B]$也是运动常数。

一个物理系统，假若拥有$n$个自由度，$n$个运动常数，其任何一对运动常数的帕松括号等于零，则称此系统为完全可积分系统（completely integrable system）。称这一集合的运动常数互相对合。

量子力学

假若，一个可观测量$Q$与哈密顿量$H$是可交换的，而且不显性地含时间，则此可观测量是个运动常数。

导引

假设，一个可观测量$Q=Q(x,p,t)$跟位置$x$、动量$p$、时间$t$有关。再假设一个波函数$\psi$遵守薛定谔方程$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi$。求$Q$期望值对于时间$t$的导数，

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle$	$={\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle$
	$=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}|Q|\psi \right\rangle +\left\langle \psi |{\frac {\partial Q}{\partial t}}|\psi \right\rangle +\left\langle \psi |Q|{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right\rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle H\psi |Q|\psi \rangle +\left\langle \psi |{\frac {\partial Q}{\partial t}}|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |Q|H\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |HQ|\psi \rangle +\left\langle \psi |{\frac {\partial Q}{\partial t}}|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |QH|\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle +\left\langle \psi |{\frac {\partial Q}{\partial t}}|\psi \right\rangle$；

其中，$[H,Q]=HQ-QH$是交换子。

假若，$Q$与哈密顿量$H$是可交换的，而且不显性地含时间，则

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0$。

所以，$Q$是运动常数。

参阅

• 守恒定律
• 正则变换
• 哈密顿力学
• 拉格朗日力学

参考文献

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.