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反餘弦
Arccos.svg
性質
奇偶性 非奇非偶函数
定義域 [-1, 1]
到達域
周期 N/A
特定值
當x=0
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值
最小值
其他性質
渐近线 N/A
1

反餘弦(arccosine, , )是一種反三角函數,也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中,反餘弦被定義為一個角度,也就是餘弦值的反函數,然而餘弦函數是雙射不可逆的而不是一個對射函數(即多個值可能只得到一個值,例如1和所有同界角),故無法有反函數,但我們可以限制其定義域,因此,反餘弦是單射滿射也是可逆的,另外,我們也需要限制值域,且限制值域時,不能和反正弦定義相同的區間,因為這樣會變成一對多,而不構成函數,所以我們將反餘弦函數的值域定義在 ,。另外,在原始的定義中,若輸入值不在區間,是沒有意義的,但是三角函數擴充到複數之後,若輸入值不在區間,將傳回複數

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命名编辑

反餘弦的數學符號是 ,最常被計為 。在不同的編程語言和有些計算器則使用acos或acs。

定義编辑

原始的定義是將餘弦函數限制在 反函數
複變分析中,反餘弦是這樣定義的:

 

這個動作使反餘弦被推廣到複數

 
拓展到複數的反餘弦函數

性質编辑

反餘弦函數是一個定義在區間 嚴格遞減連續函數。:
 .
其圖形是對稱的,即對稱於點 ,所以滿足 .
反餘弦函數的導數是:
 .
反餘弦函數的泰勒級數是:

 

基於上述級數在 接近1時收斂速度十分緩慢,在 求得的泰勒級數是:

 

由於先前描述的對稱關係 ,可由上式計算 接近1時的反餘弦值。

也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值:

 
 .

應用编辑

直角三角形的輻角為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。

參見编辑