是在虚轴正向距离原点两个单位的纯虚数,属于高斯整数[2]:13,为虚数单位的两倍[2]:12,同时也是负四的平方根[2]:12[3][4]:ix[5][6][7][8],是方程式的正虚根[3][9]:10。日常生活中通常不会用来计量事物,例如无法具体地描述何谓个人,逻辑上个人并没有意义。[10]部分书籍或教科书偶尔会使用来做虚数的例子或题目。[11]

2i
2i
数表高斯整数
<< −3i −2i −i 0  i  2i  3i >>

高斯平面上的位置
命名
名称2i
负四的平方根
二虚数单位
性质
高斯整数分解
绝对值2[1]
以此为的多项式或函数
表示方式
2倍虚数单位
代数形式
十进制2i
-1+i进制1110100
2i进制10
高斯整数导航
2i
−1+i i 1+i
−2 −1 0 1 2
−1−i i 1−i
−2i

高斯平面上,与相邻的高斯整数有(上下相邻;纯虚数)以及(左右相邻),然而复数不具备有序性,即无法判断间的大小关系,因此无法定义何者为的前一个虚数、何者为的下一个虚数。

−1+3i 3i 1+3i
−1+2i 2i 1+2i
−1+i i 1+i
相邻的高斯整数示意图

性质

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  •  不属于实数,是一个纯虚数,同时也是复数位于复平面,其实部为0、虚部为2[12]辐角为90度( 弧度)[13],其也能表达为 [14]:7 [15]
  •  是一个高斯整数[16][17][18]高斯整数分解 [19]:711,或 [20]:433,其中,1+i2i高斯素因数[19]:711[21][22]:247
  • 所有复数的可以表达为 之幂的线性组合[23]换句话说若进位制 为底数,则可独一无二地表示全体复数[24]。该进制称为2i进制,由高德纳1955年发现。[25]
  • 复数的虚数部可以定义为复数与其共轭复数之差除以 [26]换言之,则 [2]:32
     
  • 正弦函数可以定义为纯虚指数函数与其倒数之差除以 的商。[27][28]:41[2]:64
     
  •  等于最小的素数虚数单位,即 [15],其中 为第 个素数。
  • 虚数单位虚数单位倒数相差 
  • 任意数与 相乘的意义为模放大两倍并在复平面上以原点为中心逆时针旋转90度。[14]:7[2]:20-21

2i的幂

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 的前几次幂为1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...[29],其会在实部和虚部交错变换,其单位会在1、i、−1、−i中变化。其中,实数项为−4的幂[30] ,虚数的正值项为16的幂的2倍[31] 、虚数的负值项为16的幂的−8倍[32],因此这种特性使得 作为底数可以不将复数表达为实部与虚部就能表示全体复数,[29]并且有研究以此特性设计复数运算电路[33]

2i的平方根

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 平方根正好是实数单位虚数单位,即 [28]:3,反过来说 正好是实数单位虚数单位相加的平方, [34][35]:388。若考虑平方根的正负,则1+i−1−i都是 的平方根。

相关数字

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  的相反数,其平方根曾提议作为复数进位制的底数。[36]

  平方根[28],同时也是高斯素数[37]。由于其幂次为1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...,在正负、虚实交替变化,因此若作为进位制底数可以表达全体复数。但其组合变化相较于 为底数的进位制, 做为底数更为适合。[38]亦有另外一个数也为 的平方根,即 ,但这个数较少出现于探讨进位制底数的文章中,也没有其他特殊的性质。此外, 也不是第一象限高斯素数,因此鲜少被拿出来讨论。

−1+i

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−1+i
−1+i
命名
名称−1+i
性质
高斯整数分解 
绝对值 
表示方式
 
代数形式 
十进制−1+i
2i进制113.2
 
−1+i进位制系统中整数部分全为零的复数

  的平方根。距离原点 单位,辐角135度( 弧度[39]),其实部负一虚部为1。 不是高斯素数,其可以分解为i1+i的乘积。由于其幂次为−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...,其在正负、虚实交替变化,因此其可以构建一个以 为底数并用1和0表达复数的进位制[36][40]。其他复数虽然也可以, ,但对高斯整数而言,以 为底并不是一个优良的选择。[38]虽然 也是 的平方根,但因为上述原因,所以 这个数字通不会用来作为进制的底数来使用。

除了 外,其他 形式的复数也能作为进位制底数,但其在表达数的范围不同,以 为例,其表达的范围较为均匀,而  等则会越来越狭长。[41]

−1+i进制与相关进制比较
十进制 二进制 2i进制 −1+i进制 −2+i进制
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 10 2 1100 2
−1 −1 103 11101 144
−2 −10 102 11100 143
i i 10.2 11 12
2i 10i 10 1110100 24
3i 11i 20.2 1110111 1341
i i 0.2 111 133
−2i −10i 1030 100 121
−3i −11i 1030.2 110011 13304
1+i 1+i 11.2 1110 13
1−i 1−i 1.2 111010 134
−1+i −1+i 113.2 10 11
−1−i −1−i 103.2 110 132
2+i 10+i 12.2 1111 14
2−i 10−i 2.2 111011 1440
−2+i −10+i 112.2 11111 10
−2−i −10−i 102.2 11101011 131

相邻的高斯整数

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−1+3i 3i 1+3i
−1+2i 2i 1+2i
−1+i i 1+i
 相邻的高斯整数示意图

 是在虚轴正向距离原点3个单位的纯虚数,是虚数单位的三倍,同时也是负九(−9)的平方根,与纯虚数2i4i相邻、并与高斯整数−1+3i1+3i相邻。

 的为虚数单位与素数3的乘积,其中,3也是高斯素数,因此 的高斯整数分解为 

−1+2i

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 是在虚轴正向距离原点 个单位的高斯整数,其实部为负一、虚部为2i,与纯虚数2i相邻、并与高斯整数−1+3i−1+i−2+2i相邻。

 不是高斯素数,其具有高斯素因数  的高斯整数分解为 

 是一个高斯素数 [37],在虚轴正向距离原点 个单位,其实部为、虚部为2i,与纯虚数2i相邻、并与高斯整数1+3i1+i3+2i相邻。

参见

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参考文献

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