線性微分方程

線性微分方程(英語:Linear differential equation)是數學中常見的一類微分方程。指以下形式的微分方程

其中方程左側的微分算子線性算子y是要解的未知函數,方程的右側是一個已知函數。如果f(x) = 0,那麼方程(*)的解的線性組合仍然是解,所有的解構成一個向量空間,稱為解空間。這樣的方程稱為齊次線性微分方程。當f不是零函數時,所有的解構成一個仿射空間,由對應的齊次方程的解空間加上一個特解得到。這樣的方程稱為非齊次線性微分方程。線性微分方程可以是常微分方程,也可以是偏微分方程

簡介

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線性微分方程是一類特殊的微分方程。一個線性微分方程的解構成向量空間或仿射空間,因此可以應用相關的代數知識來討論解的性質。線性微分方程的普遍形式為:

 

其中的 是一個線性的微分算子,也就是說,設有兩個函數  以及兩個常數  ,那麼:

 

如果f是零函數,那麼給定若干個方程(*)的解函數: 以及同樣多的常數係數: ,線性組合 仍然是方程(*)的解函數。這說明所有方程(*)的解函數構成一個線性空間V,稱為方程的解空間。如果f不是零函數,那麼考慮相應的齊次線性微分方程:

 

 是方程(*)的一個解函數。 方程(**)的任意一個解函數。則它們的和 仍然是(*)的解函數。另一方面,給定方程(*)的兩個解函數:  。則它們的差 會是方程(**)的解函數。這說明方程(*)的所有解函數都可以寫成 的形式。其中V是方程(**)的解空間。所以方程(*)的所有解函數構成一個仿射空間V',並且 

常係數齊次線性微分方程

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一種解線性微分方程的方法是歐拉發現的,他意識到這類方程的解都具有 的形式,其中 是某個複數。因此,對於以下方程:

 

我們設 ,可得:

 

兩邊除以e zx,便得到了一個n次方程:

 

這個方程F(z) = 0稱為特徵方程

一般地,把微分方程中以下的項

 

換成zk,便可得到特徵方程。這個方程有n個解:z1, ..., zn。把任何一個解代入e zx,便可以得到微分方程的一個解:e zix。由於齊次線性微分方程滿足疊加原理,因此這些函數的任意線性組合仍然滿足微分方程。

如果特徵方程的根都不重複,我們便得到了微分方程的n個解。可以證明,這些解是線性獨立的。於是,微分方程的通解就是y = C1e z1x + C2e z2x + …… + Cne znx,其中C1C2、……、Cn是常數。

以上討論了n個根全不相同的情形。如果這n個根中有兩個(或多個)相同,用上面的方法就無法得出n個線性獨立的解。但是,可以驗證,如果z是特徵方程的 mz 重根,那麼,對於    就是微分方程的一個解。對每個特徵根 z,都能得到 mz 個解,所有這些解的線性組合就是方程的通解。

一般地,如果微分方程的係數Ai都是實數,那麼它的解也應該表示成實數的形式。假如特徵方程有複數根,那麼它一定是成對的,也就是說,如果a + bi是特徵方程的根,那麼a - bi也是一個根。於是,y = e (a + bi)xy = e (a - bi)x都是微分方程的解。但這兩個解都是複數的形式。考慮到這兩個解的任意線性組合也仍然是微分方程的解,我們可以把這兩個解相加,再除以2,利用歐拉公式,便得到一個實數形式的解:y = e axcosbx。如果把兩個解相減,再除以2i,便得到另一個實數形式的解:y = e axsinbx。於是,y = C1e axcosbx + C2e axsinbx就是微分方程的通解。

例子

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求微分方程 的通解。特徵方程是 ,它的根是2+i和2−i。於是, 就是微分方程的通解。

常係數非齊次線性微分方程

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欲得到非齊次線性微分方程的通解,我們首先求出對應的齊次方程的通解,然後用待定係數法常數變易法日語定数変化法求出非齊次方程本身的一個特解,把它們相加,就是非齊次方程的通解。

待定係數法

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考慮以下的微分方程:

 

對應的齊次方程是:

 

它的通解是:

 

由於非齊次的部分是( ),我們猜測特解的形式是:

 

把這個函數以及它的導數代入微分方程中,我們可以解出A

 
 
 
 

因此,原微分方程的解是:

  ( )

常數變易法

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假設有以下的微分方程:

 

我們首先求出對應的齊次方程的通解 ,其中C1C2是常數,y1y2x的函數。然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解,方法是把齊次方程的通解中的常數C1C2換成x的未知函數u1u2,也就是:

 

兩邊求導數,可得:

 

我們把函數u1u2加上一條限制:

 

於是:

 

兩邊再求導數,可得:

 

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中,可得:

 

整理,得:

 

由於y1y2都是齊次方程的通解,因此  都變為零,故方程化為:

 

(2)和(5)聯立起來,便得到了一個  的方程組,便可得到  的表達式;再積分,便可得到  的表達式。

這個方法也可以用來解高於二階的非齊次線性微分方程。一般地,有:

 

其中W表示朗斯基行列式

變係數線性微分方程

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n階的變係數微分方程具有以下形式:

 

一個例子是柯西-歐拉方程

 

變係數線性微分方程通常沒有一般的方法可以求解,但一階的變係數線性微分方程是例外。設有以下的一階變係數線性微分方程:

 

這個方程可以用積分因子求解,方法是把兩邊乘以 

 

乘法定則,可以簡化為:

 

兩邊積分,得:

 
 

也就是說,一階線性微分方程 的解是:

 

其中 是積分常數,且

 

例子

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考慮以下一階線性微分方程:

 

p(x) = b,r(x) = 1,因此微分方程的解為:

 

拉普拉斯變換解微分方程

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應用拉普拉斯變換解線性微分方程顯得更為方便簡單。

首先有以下關係:

 
 
 

有如下微分方程:

 

該方程可變換為:

 

則:

 

其中   是初始條件。

f(t) 通過拉普拉斯反變換   求得。


參見

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參考文獻

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  • Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.