區間的分割
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一個閉區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一個分割 P 是指在此區間中取一個有限的點列a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b} 。(由a至b內的所有x)
每個閉區間[ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 叫做一個子區間 。定義λ {\displaystyle \lambda } 為這些子區間長度的最大值:λ = max ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})} ,其中0 ≤ i ≤ n − 1 {\displaystyle 0\leq i\leq n-1} 。
再定義取樣分割 。一個閉區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一個取樣分割是指在進行分割a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b} 後,於每一個子區間中[ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 取出一點x i ≤ t i ≤ x i + 1 {\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}} 。λ {\displaystyle \lambda } 的定義同上。
精細化分割 :設x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 以及t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} 構成了閉區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一個取樣分割,y 0 , … , y m {\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}} 和s 0 , … , s m − 1 {\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}} 是另一個分割。如果對於任意0 ≤ i ≤ n {\displaystyle 0\leq i\leq n} ,都存在r ( i ) {\displaystyle r(i)} 使得x i = y r ( i ) {\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}} ,並存在r ( i ) ≤ j < r ( i + 1 ) {\displaystyle r(i)\leq j<r(i+1)} 使得t i = s j {\displaystyle t_{i}=s_{j}} ,那麼就把分割:y 0 , … , y m {\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}} 、s 0 , … , s m − 1 {\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}} 稱作分割x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} 的一個精細化分割 。簡單來說,就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係 ,稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就說前者比後者更「精細」。
對一個在閉區間[ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 有定義的實值函數f {\displaystyle f} ,f {\displaystyle f} 關於取樣分割x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} 的黎曼和 (積分和 )定義為以下和式:
∑ i = 0 n − 1 f ( t i ) ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})} 和式中的每一項是子區間長度x i + 1 − x i {\displaystyle x_{i+1}-x_{i}} 與在t i {\displaystyle t_{i}} 處的函數值f ( t i ) {\displaystyle f(t_{i})} 的乘積。直觀地說,就是以標記點t i {\displaystyle t_{i}} 到X軸的距離 為高,以分割的子區間為長的矩形 的面積。
黎曼積分
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不太嚴格地來說,黎曼積分就是當分割越來越「精細」的時候,黎曼和趨向的極限。下面的證明中,會對「越來越『精細』」作出嚴格的定義。
要使得「越來越『精細』」有效,需要把λ {\displaystyle \lambda } 趨於0。如此[ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 中的函數值才會與f ( t i ) {\displaystyle f(t_{i})} 接近,矩形面積的和與「曲線下方」的面積的差也會越來越小。實際上,這就是黎曼積分定義的大概描述。
嚴格定義如下 :S {\displaystyle S} 是函數f {\displaystyle f} 在閉區間[ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的黎曼積分,當且僅當對於任意的ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ,都存在δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ,使得對於任意的取樣分割x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} ,只要它的子區間長度最大值λ ≤ δ {\displaystyle \lambda \leq \delta } ,就有:
| ∑ i = 0 n − 1 f ( t i ) ( x i + 1 − x i ) − S | < ϵ . {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,} 也就是說,對於一個函數f {\displaystyle f} ,如果在閉區間[ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上,無論怎樣進行取樣分割,只要它的子區間長度最大值足夠小,函數f {\displaystyle f} 的黎曼和都會趨向於一個確定的值,那麼f {\displaystyle f} 在閉區間[ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的黎曼積分存在,並且定義為黎曼和的極限,這時候稱函數f {\displaystyle f} 為黎曼可積 的。
這個定義的缺陷是沒有可操作性,因為要檢驗所有λ ≤ δ {\displaystyle \lambda \leq \delta } 的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義,然後證明它們是等價的。
另一個定義 : S {\displaystyle S} 是函數f {\displaystyle f} 在閉區間[ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的黎曼積分,當且僅當對於任意的ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ,都存在一個取樣分割x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} ,使得對於任何比其「精細」的分割y 0 , … , y m {\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}} and s 0 , … , s m − 1 {\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}} ,都有:
| ∑ i = 0 m − 1 f ( s i ) ( y i + 1 − y i ) − S | < ϵ . {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,} 這兩個定義是等價的。如果有一個S {\displaystyle S} 滿足了其中一個定義,那麼它也滿足另一個。首先,如果有一個S {\displaystyle S} 滿足第一個定義,那麼只需要在子區間長度最大值λ ≤ δ {\displaystyle \lambda \leq \delta } 的分割中任取一個。對於比其精細的分割,子區間長度最大值顯然也會小於δ {\displaystyle \delta } ,於是滿足
| ∑ i = 0 m − 1 f ( s i ) ( y i + 1 − y i ) − S | < ϵ . {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,} 其次證明滿足第二個定義的S {\displaystyle S} 也滿足第一個定義。首先引進達布積分 的概念,第二個定義和達布積分的定義是等價的,具體見達布積分 。其次我們證明達布積分 的定義滿足第一個定義。任選一個分割x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 使得它的上達布和 與下達布和 都與S {\displaystyle S} 相差不超過ϵ 2 {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}} 。令r {\displaystyle r} 等於max 0 ≤ i ≤ n − 1 ( M i − m i ) {\displaystyle \max _{0\leq i\leq n-1}(M_{i}-m_{i})} ,其中M i {\displaystyle M_{i}} 和m i {\displaystyle m_{i}} 是f {\displaystyle f} 在[ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 上的上確界 和下確界 。再令δ {\displaystyle \delta } 是ϵ 2 r n {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}} 和min 0 ≤ i ≤ n − 1 ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \min _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})} 中的較小者。可以看出,當一個分割的子區間長度最大值小於δ {\displaystyle \delta } 時,f {\displaystyle f} 關於它的黎曼和與上達布和 或下達布和 至多相差ϵ 2 {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}} ,所以和S {\displaystyle S} 至多相差ϵ {\displaystyle \epsilon } 。
由於以上原因,黎曼積分通常被定義為達布積分(即第二個定義),因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。
黎曼積分可推廣到值屬於n {\displaystyle n} 維空間R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的函數。積分是線性定義的,即如果f = ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\dots ,f_{n})} ,則∫ f = ( ∫ f 1 , … , ∫ f n ) {\displaystyle \int \mathbf {f} =(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n})} 。特別地,由於複數是實數向量空間 ,故值為複數的函數也可定義積分。
黎曼積分只定義在有界區間上,擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分,即如同反常積分 (improper integral)一樣。我們可以令
∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = lim x → ∞ ∫ − x x f ( t ) d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,dt.} 不幸的是,這並不是很合適。平移不變性(如果把一個函數向左或向右平移,它的黎曼積分應該保持不變)喪失了。例如,令f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} 若x > 0 {\displaystyle x>0} ,f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} ,f ( x ) = − 1 {\displaystyle f(x)=-1} 若x < 0 {\displaystyle x<0} 。則對所有x {\displaystyle x}
∫ − x x f ( t ) d t = ∫ − x 0 f ( t ) d t + ∫ 0 x f ( t ) d t = − x + x = 0 {\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t)\,dt=\int _{-x}^{0}f(t)\,dt+\int _{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0} .但如果我們將f ( x ) {\displaystyle f(x)} 向右平移一個單位得到f ( x − 1 ) {\displaystyle f(x-1)} ,則對所有x > 1 {\displaystyle x>1} ,我們得到
∫ − x x f ( t − 1 ) d t = ∫ − x 1 f ( t − 1 ) d t + ∫ 1 x f ( t − 1 ) d t = − ( x + 1 ) + ( x − 1 ) = − 2 {\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int _{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int _{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2} .由於這是不可接受的,我們可以嘗試定義:
∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = lim a → − ∞ lim b → ∞ ∫ a b f ( t ) d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t)\,dt.} 此時,如果嘗試對上面的f {\displaystyle f} 積分,我們得到+ ∞ {\displaystyle +\infty } ,因為我們先使用了極限b → ∞ {\displaystyle b\to \infty } 。如果使用相反的極限順序,我們得到− ∞ {\displaystyle -\infty } 。
這同樣也是不可接受的,我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足,依然不是我們想要的,因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如,令f n ( x ) = 1 / n {\displaystyle f_{n}(x)=1/n} 在[ 0 , n ] {\displaystyle [0,n]} 上,其它域上等於0。對所有n {\displaystyle n} ,∫ f n d x = 1 {\displaystyle \int f_{n}\,dx=1} 。但f n {\displaystyle f_{n}} 均勻收斂於0,因此lim f n {\displaystyle \lim f_{n}} 的積分是0。因此∫ f d x ≠ lim ∫ f n d x {\displaystyle \int f\,dx\not =\lim \int f_{n}\,dx} 。即使這是正確的值,可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。
一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分 。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見,但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的,並且當二者都有定義時積分值也是一致的。
事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分 。
擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子x i − x i + 1 {\displaystyle x_{i}-x_{i+1}} ,粗略地說,這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分 所採用的方法。