實分析中,由黎曼創立的黎曼積分(英語:Riemann integral)首次對函數在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼-斯蒂爾傑斯積分勒貝格積分得到修補。

概念

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作為曲線坐標軸所夾面積的黎曼積分

讓函數   為定義在區間   的非負函數,我們想要計算  所代表的曲線 坐標軸跟兩條垂直線    所夾圖形的面積(既右圖區域   的面積),可將區域   的面積以下面符號表示:

 

黎曼積分的基本概念就是對 x-軸的分割越來越細,則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形   的面積(參考右方第二張圖)。同時請注意,如函數為負函數,  ,則其面積亦為負值。

 
分割越來越「細」的黎曼和。右上角的數字表示所有矩形面積(既黎曼和)。這黎曼和數列會趨於此函數的積分。

定義

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區間的分割

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一個閉區間 的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列 。(由a至b內的所有x)


每個閉區間 叫做一個子區間。定義 為這些子區間長度的最大值: ,其中 

再定義取樣分割。一個閉區間 的一個取樣分割是指在進行分割 後,於每一個子區間中 取出一點  的定義同上。

精細化分割:設 以及 構成了閉區間 的一個取樣分割,  是另一個分割。如果對於任意 ,都存在 使得 ,並存在 使得 ,那麼就把分割:  稱作分割  的一個精細化分割。簡單來說,就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係,稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就說前者比後者更「精細」。

黎曼和

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對一個在閉區間 有定義的實值函數  關於取樣分割  黎曼和積分和)定義為以下和式:

 

和式中的每一項是子區間長度 與在 處的函數值 的乘積。直觀地說,就是以標記點 到X軸的距離為高,以分割的子區間為長的矩形的面積。

黎曼積分

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不太嚴格地來說,黎曼積分就是當分割越來越「精細」的時候,黎曼和趨向的極限。下面的證明中,會對「越來越『精細』」作出嚴格的定義。

要使得「越來越『精細』」有效,需要把 趨於0。如此 中的函數值才會與 接近,矩形面積的和與「曲線下方」的面積的差也會越來越小。實際上,這就是黎曼積分定義的大概描述。

嚴格定義如下 是函數 在閉區間 上的黎曼積分,若且唯若對於任意的 ,都存在 ,使得對於任意的取樣分割  ,只要它的子區間長度最大值 ,就有:

 

也就是說,對於一個函數 ,如果在閉區間 上,無論怎樣進行取樣分割,只要它的子區間長度最大值足夠小,函數 的黎曼和都會趨向於一個確定的值,那麼 在閉區間 上的黎曼積分存在,並且定義為黎曼和的極限,這時候稱函數 黎曼可積的。

這個定義的缺陷是沒有可操作性,因為要檢定所有 的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義,然後證明它們是等價的。

另一個定義:  是函數 在閉區間 上的黎曼積分,若且唯若對於任意的 ,都存在一個取樣分割  ,使得對於任何比其「精細」的分割  and  ,都有:

 

這兩個定義是等價的。如果有一個 滿足了其中一個定義,那麼它也滿足另一個。首先,如果有一個 滿足第一個定義,那麼只需要在子區間長度最大值 的分割中任取一個。對於比其精細的分割,子區間長度最大值顯然也會小於 ,於是滿足

 

其次證明滿足第二個定義的 也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念,第二個定義和達布積分的定義是等價的,具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割 使得它的上達布和下達布和都與 相差不超過 。令 等於 ,其中    上的上確界下確界。再令   中的較小者。可以看出,當一個分割的子區間長度最大值小於 時, 關於它的黎曼和與上達布和下達布和至多相差 ,所以和 至多相差 

由於以上原因,黎曼積分通常被定義為達布積分(即第二個定義),因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。

黎曼積分的性質

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  • 線性性:黎曼積分是線性轉換,也就是說,如果  在區間 上黎曼可積  是常數,則:
 

由於一個函數的黎曼積分是一個實數,因此在固定了一個區間 後,將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射 是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函

  • 正定性:如果函數 在區間 幾乎處處勒貝格測度意義上)大於等於0,那麼它在 上的積分也大於等於零。如果 在區間 上幾乎處處大於等於0,並且它在 上的積分等於0,那麼 幾乎處處為0。
  • 可加性:如果函數 在區間  上都可積,那麼 在區間 上也可積,並且有
 

無論abc之間的大小關係如何,以上關係式都成立。

  •  上的實函數 是黎曼可積的,若且唯若它是有界幾乎處處連續的。
  • 如果 上的實函數是黎曼可積的,則它是勒貝格可積的。
  • 如果  上的一個均勻收斂序列,其極限為 ,那麼:
 
  • 如果一個實函數在區間 上是單調的,則它是黎曼可積的。

黎曼積分的推廣

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黎曼積分可推廣到值屬於 維空間 的函數。積分是線性定義的,即如果 ,則 。特別地,由於複數是實數向量空間,故值為複數的函數也可定義積分。

黎曼積分只定義在有界區間上,擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分,即如同反常積分(improper integral)一樣。我們可以令

 

不幸的是,這並不是很合適。平移不變性(如果把一個函數向左或向右平移,它的黎曼積分應該保持不變)喪失了。例如,令     。則對所有 

 .

但如果我們將 向右平移一個單位得到 ,則對所有 ,我們得到

 .

由於這是不可接受的,我們可以嘗試定義:

 

此時,如果嘗試對上面的 積分,我們得到 ,因為我們先使用了極限 。如果使用相反的極限順序,我們得到 

這同樣也是不可接受的,我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足,依然不是我們想要的,因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如,令  上,其它域上等於0。對所有  。但 均勻收斂於0,因此 的積分是0。因此 。即使這是正確的值,可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。

一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見,但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的,並且當二者都有定義時積分值也是一致的。

事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分

擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子 ,粗略地說,這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法。

相關條目

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參考文獻

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  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.