实函数(Real function),指定义域值域均为实数集子集函数。实函数的特性之一是可以在坐标平面上画出图形。

定义

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一个实函数 f 是一个把实数(一般以 x 表示)映射到另一实数(函数的值,一般以 f(x) 表示)的函数。换句话说,实函数是一个函数  ,当中    一个包含至少一个开集的子集(可以等于  )。

定义于所有非负实数平方根函数便是一个例子: ,当中   是所有非负实数的集合及对所有   

定义域

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一个实函数的定义域未必总是明确写出。对任一定义域为 X 的实函数 f 和任一 X 的子集 Y,可定义 fY 的限制函数 f|Y。其定义域为 Y 而对所有 Y元素,函数的取值维持不变。若 YX 的真子集,这两个函数理论上并不相同,但往往可将两者视为等同。

相反,有时函数的定义域可透过解析延拓或利用函数的连续性扩大。由此可见,明确指出实函数的未必有明显价值。

像与值域

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函数 f 的值域是指当 x 可取定义域内任何值时,f(x) 所有可能取值的集合。若 f连续实函数而其定义域是一个区间,那么它的值域也会是一个区间(除非 f常数函数,此时其值域将是一点)。

对任何实数 y,方程式 y=f(x) 所有实数解的集合称为 y原像

代数结构

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实函数之间的运算可如下定义:

  • 对任意实数 r 及实函数 f,可定义两者的积  。若 r 不等于 0,则此函数的定义域与 f 相同。
  • 对任何两个实函数 fg,可定义两者的和   及积  。两者的定义域均为 fg 的定义域的交集

由此,所有定义于全部实数和所有定义于某一特定区间的实函数分别组成   上的结合代数(也因此组成一个向量空间),其中加法和乘法单位元分别为常数函数   

虽然对任意实函数 f 可定义  ,但由于此函数的定义域不包含所有使得 f(x)=0x 值,它不一定等于 f 的定义域,所以上述代数结构不构成一个

参见

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